2.1.3 Proportionalität und Dreisatz

Ein in der Praxis häufig vorkommender Fall der Beziehung zwischen zwei Größen ist die Proportionalität zwischen diesen Größen wie z.B. zwischen Masse und Volumen, Zeit und zurückgelegter Wegstrecke oder Gewicht bzw. Masse (Menge) einer Ware und Preis. Die Beziehung kann exemplarisch für bestimmte feste Größen vorliegen. Ein erstes Ziel ist dann, diese daraus folgende Beziehung für ein anderes Anwendungsbeispiel zu formulieren. Das Vorgehen soll an einem Beispiel verdeutlicht werden:
Beispiel 2.1.11  
5kg Äpfel kosten 3 Euro. Wie viel kosten dann 11kg Äpfel?

Die Ausgangsbeziehung lässt sich folgendermaßen formulieren:

5kg3 Euro .

Es wird vorausgesetzt, dass diese Größen proportional zueinander sind. Im folgenden Schritt wird die Beziehung zwischen den Größen daher auf die Einheit einer der Größen zurückgeführt, nämlich jener der gegebenen Größe. In diesem Fall werden beide Größen mit 1/5 multipliziert - die Bezugseinheit ist also 1kg -:

1kg 1 5 ·3 Euro =0,6 Euro .

Schließlich werden beide Seiten mit dem Vielfachen der Bezugseinheit der angegebenen Größe multipliziert, in diesem Fall mit dem Faktor 11:

11kg 11·0,6 Euro =6,6 Euro .

Der gesuchte Preis für die 11kg Äpfel ist also 6,60 Euro .
Das hier beispielhaft vorgeführte Verfahren, die Ausgangsbeziehung über die Beziehung für eine Einheit einer Größe zur gesuchten Beziehung zu führen, wird als Dreisatz bezeichnet.

Das gestellte Problem lässt sich aber auch über die Einführung eines Proportionalitätsfaktors lösen. Dazu wird das vorige Beispiel erneut betrachtet.
Beispiel 2.1.12  
Der Preis P ist proportional zur Masse m. Es gibt daher eine Konstante k mit

P=km.

Da diese Beziehung auch für die vorgegebenen Werte m0 =5kg und P0 =3 Euro gilt, folgt

P0 =k m0                Multiplikation mit 1 m0 P0 m0 =k ;

in diesem Fall ist also

k= 3 5 =0,6,

interpretiert in den Einheiten Euro pro kg. (In den Naturwissenschaften würde man korrekterweise k=0,6 Euro /kg schreiben, weil Proportionalitätsfaktoren i.A. dimensionsbehaftet sind.) Daraus erhält man mit m1 =11kg abschließend

P1 =k m1 =0,6·11=6,6 (in Euro) ,

also dasselbe Ergebnis wie mit dem Dreisatz.


Aufgabe 2.1.13  
Ein Fahrzeug fährt in 9 Minuten eine Strecke von 6km.
  1. Welche Strecke s fährt das Fahrzeug in 15 Minuten?


    Die Lösung ist s15 = km.

  2. Der Proportionalitätsfaktor zwischen Fahrstrecke s und Fahrzeit t ist die Geschwindigkeit v des Fahrzeugs.


    Diese beträgt v = km/h.