2.1.3 Proportionalität und Dreisatz
Ein in der Praxis häufig vorkommender Fall der Beziehung zwischen zwei
Größen ist die Proportionalität zwischen
diesen Größen wie z.B. zwischen
Masse und Volumen, Zeit und zurückgelegter Wegstrecke oder Gewicht bzw.
Masse (Menge) einer Ware und Preis. Die Beziehung kann exemplarisch für
bestimmte feste Größen vorliegen. Ein erstes Ziel ist dann, diese daraus
folgende Beziehung für ein anderes Anwendungsbeispiel zu formulieren.
Das Vorgehen soll an einem Beispiel verdeutlicht werden:
Das hier beispielhaft vorgeführte Verfahren, die Ausgangsbeziehung über
die Beziehung für eine Einheit einer Größe zur gesuchten Beziehung zu führen,
wird als Dreisatz bezeichnet.
Das gestellte Problem lässt sich aber auch über die Einführung eines Proportionalitätsfaktors lösen. Dazu wird das vorige Beispiel erneut betrachtet.
Beispiel
2.1.11
Äpfel kosten Euro. Wie viel kosten dann Äpfel?
Die Ausgangsbeziehung lässt sich folgendermaßen formulieren:
Es wird vorausgesetzt, dass diese Größen proportional zueinander sind. Im folgenden Schritt wird die Beziehung zwischen den Größen daher auf die Einheit einer der Größen zurückgeführt, nämlich jener der gegebenen Größe. In diesem Fall werden beide Größen mit multipliziert - die Bezugseinheit ist also -:
Schließlich werden beide Seiten mit dem Vielfachen der Bezugseinheit der angegebenen Größe multipliziert, in diesem Fall mit dem Faktor :
Der gesuchte Preis für die Äpfel ist also .
Äpfel kosten Euro. Wie viel kosten dann Äpfel?
Die Ausgangsbeziehung lässt sich folgendermaßen formulieren:
Es wird vorausgesetzt, dass diese Größen proportional zueinander sind. Im folgenden Schritt wird die Beziehung zwischen den Größen daher auf die Einheit einer der Größen zurückgeführt, nämlich jener der gegebenen Größe. In diesem Fall werden beide Größen mit multipliziert - die Bezugseinheit ist also -:
Schließlich werden beide Seiten mit dem Vielfachen der Bezugseinheit der angegebenen Größe multipliziert, in diesem Fall mit dem Faktor :
Der gesuchte Preis für die Äpfel ist also .
Das gestellte Problem lässt sich aber auch über die Einführung eines Proportionalitätsfaktors lösen. Dazu wird das vorige Beispiel erneut betrachtet.
Beispiel
2.1.12
Der Preis ist proportional zur Masse . Es gibt daher eine Konstante mit
Da diese Beziehung auch für die vorgegebenen Werte und gilt, folgt
in diesem Fall ist also
interpretiert in den Einheiten Euro pro kg. (In den Naturwissenschaften würde man korrekterweise schreiben, weil Proportionalitätsfaktoren i.A. dimensionsbehaftet sind.) Daraus erhält man mit abschließend
also dasselbe Ergebnis wie mit dem Dreisatz.
Der Preis ist proportional zur Masse . Es gibt daher eine Konstante mit
Da diese Beziehung auch für die vorgegebenen Werte und gilt, folgt
in diesem Fall ist also
interpretiert in den Einheiten Euro pro kg. (In den Naturwissenschaften würde man korrekterweise schreiben, weil Proportionalitätsfaktoren i.A. dimensionsbehaftet sind.) Daraus erhält man mit abschließend
also dasselbe Ergebnis wie mit dem Dreisatz.
Aufgabe 2.1.13
Ein Fahrzeug fährt in Minuten eine Strecke von .
Ein Fahrzeug fährt in Minuten eine Strecke von .
- Welche Strecke fährt das Fahrzeug in Minuten?
Die Lösung ist =
.
- Der Proportionalitätsfaktor zwischen Fahrstrecke und Fahrzeit
ist die Geschwindigkeit des Fahrzeugs.
Diese beträgt =
.