7.1.4 Aufgaben

Aufgabe 7.1.5
Berechnen Sie mittels Differenzenquotient die Ableitung von

f : ℝ \to ℝ

x \mapsto f (x) : = 4 - x^{2}

an den Stellen

x_{1} = - 2

und

x_{2} = 1

.

Antwort:

Der Differenzenquotient von $f$ an der Stelle $x_{1} = - 2$ ist

und hat für $x \to - 2$ den Grenzwert $f' (- 2) =$

.
Der Differenzenquotient von $f$ an der Stelle $x_{2} = 1$ ist

und hat für $x \to 1$ den Grenzwert $f' (1) =$

.

An der Stelle $x_{1} = - 2$ gilt für den Differenzenquotienten

$\frac{\Delta (f)}{\Delta (x)} = \frac{f(x) - f(x_1)}{x - x_1} = \frac{f(x) - f(-2)}{x - (-2)} = \frac{4 - x^2 - 0}{x + 2} = \frac{(2-x)(2+x)}{2+x} = 2-x \MDFPeriod$
Für $x \to x_{1}$ , also $x \to - 2$ , strebt dieser Differenzenquotient gegen $2 - (- 2) = 4$ ; daher $f' (- 2) = 4$ .
An der Stelle $x_{2} = 1$ gilt für den Differenzenquotienten

$\frac{\Delta (f)}{\Delta (x)} = \frac{f(x) - f(x_2)}{x - x_2} = \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \frac{4 - x^2 - 3}{x - 1} = \frac{1 - x^2}{x - 1} = - \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = - x - 1 \MDFPeriod$
Für $x \to x_{2}$ , also $x \to 1$ , besitzt dieser Differenzenquotient den Grenzwert $- 1 - 1 = - 2$ ; daher $f' (1) = - 2$ .

Aufgabe 7.1.6
Erläutern Sie, warum

nicht differenzierbar sind.

Antwort:

Die Ableitung von $f$ existiert an der Stelle $x_{0} = - 3$ nicht, da der Differenzenquotient

für $h \to 0$ nicht konvergiert.
Die Ableitung von $g$ existiert an der Stelle $x_{0} = 5$ nicht, da der Differenzenquotient für $h < 0$ den Wert

und für $h > 0$ den Wert

hat. Somit existiert der Grenzwert für $h \to 0$ nicht.

Der Differenzenquotient von $f$ an der Stelle $x_{0} = - 3$ ist

$\frac{\Delta (f)}{\Delta (x)} = \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = \frac{\sqrt{-3 + h + 3} - \sqrt{-3 + 3}}{h} = \frac{\sqrt{h} - 0}{h} = \frac{1}{\sqrt{h}} \MDFPeriod$
Für $h \to 0$ ( $h > 0$ ) wächst dieser Differenzenquotient über alle Maßen, d.h. der Grenzwert des Differenzenquotienten existiert nicht.
Der Differenzenquotient von $g$ an der Stelle $x_{0} = 5$ ist

$\frac{\Delta (g)}{\Delta (x)} = \frac{g(x_0 + h) - g(x_0)}{h} = \frac{6 \cdot |2 (5+h) - 10| - 6 \cdot |2 \cdot 5 - 10|}{h} = \frac{12 |h| - 0}{h} = \frac{12 |h|}{h} \MDFPeriod$
Für $h < 0$ hat der Differenzenquotient wegen $| h | = - h$ also den Wert $- 12$ , für $h > 0$ dagegen wegen $| h | = h$ den Wert $12$ . Somit existiert kein Grenzwert des Differenzenquotienten. (Ein Grenzwert ist immer eindeutig.)