9.2.3 Lagebeziehungen von Geraden

Während es im vorigen Abschnitt 9.2.2 darum ging, Geraden mittels Koordinatengleichungen zu beschreiben und Gleichungen für Geraden, die mittels vorgegebener Daten festgelegt sind, zu finden, widmet sich dieser Abschnitt der Untersuchung der relativen Lage von Geraden, welche durch Gleichungen vorgegeben sind, zueinander und zu weiteren gegebenen Punkten. Letzteres ist relativ einfach, da ein Punkt nur auf einer Gerade liegen kann oder nicht:



Mit Hilfe einer Geradengleichung kann man also testen, ob Punkte auf der Geraden liegen oder nicht.

Für die Lagebeziehung zweier Geraden gibt es mehr Möglichkeiten:



Die letzte dieser Möglichkeiten, klingt zunächst etwas seltsam. Man fragt sich, wieso es zwei Bezeichnungen ($g$ und $h$) für etwas gibt, was eigentlich nur eine Gerade ist. Man mache sich in diesem Zusammenhang aber klar, dass unterschiedliche Geradengleichungen genau die gleiche Gerade beschreiben können, wenn die Geradengleichungen durch Äquivalenzumformungen auseinander hervorgehen. So ist es durchaus möglich, dass man mit $g$ und $h$ zwei Beschreibungen (durch unterschiedliche, aber äquivalente Gleichungen) ein und der selben Geraden vorliegen hat, dies aber eventuell nicht sofort ersichtlich ist, sondern die Gleichungen dafür genauer untersucht werden müssen. Dies zeigt auch nochmals das folgende Beispiel:



Die Methoden zur Berechnung von Schnittpunkten von Geraden, sind die Methoden zum Lösen von zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten (in diesem Fall sind dies die Geradengleichungen), die in Kapitel 4 ausführlich behandelt wurden. Insbesondere wurde auch der geometrische Aspekt des Schnittpunkts von Geraden in diesem Zusammenhang in Abschnitt 4.2 bereits ausführlich behandelt. Deshalb sei an dieser Stelle für die Methoden der Schnittpunktbestimmung auf ebendiesen Abschnitt 4.2 verwiesen, und dessen kurze Wiederholung wird hier wärmstens empfohlen.

Liegen zwei Geradengleichungen allerdings in Normalform vor, kennt man also ihre Steigungen und Achsenabschnitte, so kann man (ohne Rechnung) direkt eine Aussage darüber treffen, welche der drei relativen Lagebeziehungen aus Infobox 9.2.15 auf die beiden Geraden zutrifft: