5.5.3 Aufgaben

Aufgabe 5.5.9
Berechnen Sie das Volumen eines Prismas der Höhe

h = 8 c m

, dessen Grundfläche ein Dreieck ist, von dem zwei Seiten

5 c m

lang sind, und eine Seite

6 c m

lang ist.

Antwort:

{c m}^{3}

Die Grundfläche des Prismas ist ein gleichseitiges Dreieck mit den gleich langen Seiten

a

und

b

und einer weiteren Seite

c

. Deshalb kann die Höhe

h_{c}

auf

c

mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden. Mit den angegebenen Werten erhält man die Höhe

h_{c} = \sqrt{(5 c m)^{2} - {(\frac{6 c m}{2})}^{2}} = 4 c m

und damit den Flächeninhalt

G = \frac{1}{2} \cdot 6 c m \cdot 4 c m = 12 {c m}^{2}

. Das gesuchte Volumen

V

des Prismas ist

V = G \cdot h = 12 {c m}^{2} \cdot 8 c m = 96 {c m}^{3}

Aufgabe 5.5.10
Die Oberfläche eines Zylinders mit einer Höhe von

h = 6,0 c m

soll mit einer Farbfolie beklebt werden. Die Oberfläche soll

O = 200,0 {c m}^{2}

groß sein. Berechnen Sie den Durchmesser

d

der Kreisfläche und das Volumen

V

des Zylinders. Verwenden Sie als Näherung für

π

den Wert

3,1415

und runden Sie Ihre Ergebnisse auf eine Nachkommastelle (dies entspricht einer Genauigkeit von einem Millimeter beziehungsweise Qubikmillimeter).

Antworten:

Durchmesser $d$ $=$

$c m$

Die Oberfläche eines Zylinders ergibt sich aus der Summe der Grundflächen und der Mantelfläche:

$O = 2 \cdot \pi \cdot \left(\frac{d}{2}\right)^2 + \pi \cdot d \cdot h % = \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot d^2 + \pi \cdot h \cdot d % = \frac{\pi}{2} \cdot \left( d^2 + 2 \cdot h \cdot d \right) \MDFPeriod %$
In der Aufgabe sind die Oberfläche $O$ und die Höhe $h$ des Zylinders gegeben. Damit kann der gesuchte Kreisdurchmesser $d$ des Bodens berechnet werden, indem eine Lösungsformel für eine quadratische Gleichung verwendet wird oder eine quadratische Ergänzung vorgenommen wird (siehe Kapitel 1): Multiplikation mit $\frac{2}{π}$ und Addition von $h^{2}$ führt auf

$(d + h)^2 = d^2 + 2 h d + h^2 = \frac{2 \cdot O}{\pi} + h^2 \MDFPSpace, %%$
woraus

$d = -h + \sqrt{\frac{2 \cdot O}{\pi} + h^2} %%$
folgt. Mit den angegebenen Zahlenwerten ergibt sich

$d \approx -\MZahl{6}{0}\MEinheit{cm} % + \sqrt{\frac{2 \cdot \MZahl{200}{0}\MEinheit{cm}^2}{\MZahl{3}{1415}} % + \MZahl{6}{0}^2\MEinheit{cm}^2} % = -\MZahl{6}{0}\MEinheit{cm} % + \sqrt{\frac{\MZahl{400}{0}\MEinheit{cm}^2}{\MZahl{3}{1415}} % + \MZahl{36}{0}\MEinheit{cm}^2} % %Ergebnis auf eine Nachkommastelle: % = \MZahl{6}{8}\MEinheit{cm} %% %Ergebnis auf zwei Nachkommastellen: \approx \MZahl{6}{8}\MEinheit{cm} %%$
für den gesuchten Durchmesser.
Volumen $V$ $=$

${c m}^{3}$ (mit dem gerundeten Ergebnis der ersten Teilaufgabe)

Mit dem in der vorherigen Teilaufgabe berechneten Durchmesser $d = 6,8 c m$ erhält man das Volumen $V$ des Zylinders:

$V = \pi \cdot \left(\frac{d}{2}\right)^2 \cdot h % \approx \MZahl{3}{1415} \cdot \left(\frac{\MZahl{6}{8}\MEinheit{cm}}{2}\right)^2 % \cdot \MZahl{6}{0}\MEinheit{cm} % & = & \MZahl{3}{1415} \cdot \MZahl{11}{56}\MEinheit{cm}^{2} % \cdot \MZahl{6}{0}\MEinheit{cm} \\ & = & \MZahl{3}{1415} \cdot \MZahl{69}{36}\MEinheit{cm}^{3} \\ %Ergebnis auf eine Nachkommastelle: & \approx & \MZahl{217}{9}\MEinheit{cm}^{3} \MDFPeriod % %Ergebnis auf zwei Nachkommastellen: % & = & \MZahl{216}{61}\MEinheit{cm}^{3} \MDFPeriod %$
Anmerkung: Wenn das Ergebnis des Durchmessers $d \approx 6,78 c m$ mit zwei Nachkommastellen berechnet wird, erhält man $V \approx 216,61 {c m}^{3}$ als Wert für das Volumen.

Aufgabe 5.5.11
Es ist ein Holzstück in Form eines Quaders mit dem Volumen

V_{0}

gegeben. Der Quader ist

h = 120 c m

hoch, und die Grundfläche besteht aus einem Quadrat mit einer Seitenlänge von

s = 40 c m

. Aus dem Holzstück wird ein zylinderförmiges Loch der Höhe

h

mit einem Durchmesser von

d = 20 c m

„mittig“ ausgebohrt (das heißt, der Schnittpunkt der Diagonalen der quadratischen Grundfläche bildet den Mittelpunkt der Kreisscheibe des Zylinders). Verwenden Sie als Näherung für

π

den Wert

3,1415

und runden Sie Ihre Ergebnisse auf ganze Zahlen. Berechnen Sie

das Volumen $V_{Z}$ des ausgebohrten Hohlraums:

$V_{Z}$ $=$

${c m}^{3}$

Das Volumen des Zylinders ist

$V_Z = \pi \cdot \left(\frac{d}{2}\right)^2 \cdot h % \approx \MZahl{3}{1415} \cdot \left(\frac{20\MEinheit{cm}}{2}\right)^2 % \cdot 120\MEinheit{cm} % = \MZahl{3}{1415} \cdot 12000\MEinheit{cm}^{3} % = 37698\MEinheit{cm}^{3} %$
den prozentualen Anteil des Volumens $V_{1}$ des neuen Holzstücks, das nach dem Ausbohren von $V_{0}$ noch vorhanden ist:

Antwort:

$%$

Das Volumen $V_{0}$ des Holzstücks ist

$V_0 = s^2 \cdot h % = \left(40\MEinheit{cm}\right)^2 \cdot 120\MEinheit{cm} % = 1600 \cdot 120\MEinheit{cm}^{3} % = 16 \cdot 12000\MEinheit{cm}^{3} % = 192000\MEinheit{cm}^{3} %$
Damit ist der Anteil $p_{Z}$ des ausgebohrten Zylinders durch

$p_Z = \frac{V_Z}{V_0} % = \frac{\pi \cdot 12000\MEinheit{cm}^3}{16 \cdot 12000\MEinheit{cm}^3} % \approx \frac{\MZahl{3}{1415}}{16} \approx \MZahl{19}{6} \approx 20 \% %%$
und somit $p = (100 - 20) % = 80 %$ der prozentuale Anteil des neuen Holzstücks im Vergleich zum ursprünglichen Holzquader.

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