4.2.4 Aufgaben

Aufgabe 4.2.14
Lösen Sie die folgenden Linearen Gleichungssysteme mit Hilfe der Einsetzmethode:

$3 x + y = 4$ und $- x + 2 y = 1$ ,
$- x + 4 y = 5$ und $2 x - 8 y = - 10$ .

Auflösen z.B. der 1. Gleichung ( $3 x + y = 4$ ) nach $y$ liefert $y = 4 - 3 x$ . Dies kann man dann in die 2. Gleichung ( $- x + 2 y = 1$ ) einsetzen: $- x + 2 (4 - 3 x) = 1 \Leftrightarrow - x + 8 - 6 x = 1 \Leftrightarrow - 7 x = - 7 \Leftrightarrow x = 1$ . Mit diesem Ergebnis für $x$ liefert in der Folge z.B. die 1. Gleichung $3 \cdot 1 + y = 4 \Leftrightarrow y = 1$ . Die Lösungsmenge $L$ lautet hier also $L = {(1; 1)}$ .

Selbstverständlich könnte man auch anders beginnen: Man könnte z.B. die 1. Gleichung nach $x$ auflösen und das Ergebnis für $x$ dann in die 2. Gleichung einsetzen, um $y$ zu bestimmen; oder man könnte generell mit der 2. Gleichung beginnen und diese im 1. Schritt nach $x$ oder nach $y$ auflösen. Es bestehen also einige Freiheiten in der Vorgehensweise.
Auflösen z.B. der 1. Gleichung ( $- x + 4 y = 5$ ) nach $x$ liefert $x = 4 y - 5$ . Dies kann man dann in die 2. Gleichung ( $2 x - 8 y = - 10$ ) einsetzen: $2 (4 y - 5) - 8 y = - 10 \Leftrightarrow 8 y - 10 - 8 y = - 10 \Leftrightarrow 0 = 0$ . Es entsteht also keine neue Aussage; mit anderen Worten: Die 2. Gleichung enthält keine neue Information. Damit enthält die Lösungsmenge $L$ in diesem Fall unendlich viele Lösungspaare $(x; y)$ , die sich durch eine reelle Zahl $t$ parametrisieren lassen. Wählt man z.B. $y = t$ , so lautet die Lösungsmenge $L = {(4 t - 5; t) : t \in ℝ}$ . Diese Lösungsmenge lässt sich als Gerade im zweidimensionalen Raum veranschaulichen:

Abbildung 4.2.5: Skizze (C)

Dementsprechend sind andere Parametrisierungen der Lösungsmenge möglich, z.B. indem man als freien Parameter $x \in ℝ$ wählt und die obige Gerade mit Hilfe ihrer Steigung und ihres $y$ -Achsenabschnittes charakterisiert, also $L = {(x; \frac{1}{4} x + \frac{5}{4}) : x \in ℝ}$ .

Aufgabe 4.2.15
Lösen Sie die folgenden Linearen Gleichungssysteme mit Hilfe der Additionsmethode:

$2 x + 4 y = 1$ und $x + 2 y = 3$ ,
$- 7 x + 11 y = 40$ und $2 x + 5 y = 13$ .

Multipliziert man z.B. die 2. Gleichung ( $x + 2 y = 3$ ) mit $(- 2)$ , so entsteht die Gleichung $(2')$ : $- 2 x - 4 y = - 6$ . Die letzte Gleichung addiert man dann zur 1. Gleichung ( $2 x + 4 y = 1$ ): $2 x + 4 y - 2 x - 4 y = 1 - 6 \Leftrightarrow 0 = - 5$ . Dies ist ein Widerspruch! Somit ist die Lösungsmenge $L$ für dieses Lineare Gleichungssystem leer: $L = ∅$ .
Multiplikation der 1. Gleichung ( $- 7 x + 11 y = 40$ ) mit $2$ führt auf die Gleichung $(1')$ : $- 14 x + 22 y = 80$ ; Multiplikation der 2. Gleichung mit $7$ auf die Gleichung $(2')$ : $14 x + 35 y = 91$ . Anschließende Addition der Gleichungen $(1')$ und $(2')$ liefert: $- 14 x + 22 y + 14 x + 35 y = 80 + 91 \Leftrightarrow 57 y = 171 \Leftrightarrow y = 3$ . Setzt man dieses Ergebnis für $y$ z.B. in die 2. Gleichung ein, so entsteht: $2 x + 5 \cdot 3 = 13 \Leftrightarrow 2 x = 13 - 15 \Leftrightarrow 2 x = - 2 \Leftrightarrow x = - 1$ . Damit lautet die Lösungsmenge $L$ hier: $L = {(- 1; 3)}$ .

Aufgabe 4.2.16
Lösen Sie das folgende Lineare Gleichungssystem graphisch:

2 x = 2

und

x + 3 y = 4

Die 1. Gleichung (

2 x = 2

) ist äquivalent zu

x = 1

: Diese Gleichung beschreibt eine Gerade parallel zur

y

-Achse durch den Punkt

(1; 0)

auf der

x

-Achse. Die 2. Gleichung (

x + 3 y = 4

) kann umgeformt werden zu

y = - \frac{1}{3} x + \frac{4}{3}

; dies beschreibt ebenfalls eine Gerade, diesmal mit der Steigung

- \frac{1}{3}

und dem

y

-Achsenabschnitt

\frac{4}{3}

. Es ergibt sich also folgendes Bild:

Abbildung 4.2.6: Skizze (C)

Aus diesem Bild liest man die Koordinaten des Schnittpunktes zu

(x = 1; y = 1)

ab; daher:

L = {(1; 1)}

Online-Brückenkurs Mathematik

1 Elementares Rechnen

2 Gleichungen in einer Unbekannten

3 Ungleichungen in einer Unbekannten

4 Lineare Gleichungssysteme

5 Geometrie

6 Elementare Funktionen

7 Differentialrechnung

8 Integralrechnung

9 Orientierung im zweidimensionalen Koordinatensystem

10 Grundlagen der anschaulichen Vektorgeometrie

11 Grundlagen aus der Stochastik (Optional)

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