5.6.4 Aufgaben

Aufgabe 5.6.9
Wie groß ist der Winkel

φ

im Gradmaß, den der Punkt

P_{φ} = (- 0,643; - 0,766)

auf dem Einheitskreis mit dem Nullpunkt im kartesischen Koordinatensystem einschließt? Verwenden Sie dazu den Taschenrechner, aber vertrauen Sie ihm nicht blind!

Ergebnis:

φ

=

^{\circ}

Aus den Koordinaten des Punktes

P_{φ}

ergibt sich:

\cos\left(\alpha\right)=-\MZahl{0}{643} \quad \text{und} \quad \sin\left(\alpha\right)=-\MZahl{0}{766} \MDFPeriod %%

Wenn Sie in den Taschenrechner

invers(cos(-0,643)) bzw. $\cos^{- 1}$ (-0,643) eingeben, erhalten Sie ungefähr $130^{\circ}$ , und
bei Eingabe von invers(sin(-0,766)) bzw. $\sin^{- 1}$ (-0,766) erhalten Sie ungefähr $- 50^{\circ}$ .

Außerdem wissen Sie, dass der Punkt im dritten Quadranten liegt. Somit muss der Wert für den Winkel im Bereich zwischen

180^{\circ}

und

270^{\circ}

liegen.

Abbildung 5.6.9: Skizze (C)

Anhand der Zeichnung erkennt man, dass der negative Kosinuswert zum Winkel

- 130^{\circ}

und zu

φ = - 130^{\circ} = - 130^{\circ} + 360^{\circ} = 230^{\circ}

gehört.

Ebenso kann der negative Sinuswert zu

- 50^{\circ}

und zu

φ = - (- 50^{\circ}) + 180^{\circ} = 230^{\circ}

gehören.

Da dieser Wert im oben genannten Bereich liegt, ist

φ = 230^{\circ}

der gesuchte Wert des Winkels, der in der Zeichnung rosa gekennzeichnet ist.

Aufgabe 5.6.10

Für ein im Punkt C rechtwinkliges Dreieck seien eine Kathete b=2,53 cm und die Hypotenuse c=3,88 cm gegeben. Berechnen Sie die Länge der anderen Kathete a und die Sinuswerte sin(α) sowie sin(β). Runden Sie Ihre Ergebnisse bitte auf vier Nachkommastellen.

Ergebnisse:
- $a$ $=$
  
  $c m$
- $\sin (α)$ $=$
- $\sin (β)$ $=$
Es ist

$a = \sqrt{c^2 - b^2} = \sqrt{\left( \MZahl{3}{88}\MEinheit{cm} \right)^2 % - \left( \MZahl{2}{53}\MEinheit{cm} \right)^2} = \sqrt{\MZahl{15}{0544}\MEinheit{cm}^2 - \MZahl{6}{4009}\MEinheit{cm}^2} = \sqrt{\MZahl{8}{6535}}\MEinheit{cm} \MDFPSpace,$
und

$\sin \left( \alpha \right) = \frac{a}{c} = \frac{\sqrt{\MZahl{8}{6535}}\MEinheit{cm}}{\MZahl{3}{88}\MEinheit{cm}} = \frac{\sqrt{86535}}{388} \qquad \text{und} \qquad \sin \left( \beta \right) = \frac{b}{c} = \frac{\MZahl{2}{53}\MEinheit{cm}}{\MZahl{3}{88}\MEinheit{cm}} = \frac{253}{388} \MDFPeriod$
Numerisch ergibt sich $a \approx 2,9417 c m$ , $\sin (α) \approx 0,7582$ und $\sin (β) \approx 0,6520$ .
Es wird ein Dreieck mit den Seiten $a = 4 m$ und $c = 60 c m$ und dem Winkel $β = ∡ (a, c) = \frac{11 π}{36}$ betrachtet. Berechnen Sie den Flächeninhalt $F$ des Dreiecks und runden Sie Ihr Ergebnis auf drei Nachkommastellen.

Ergebnis: $F$ $=$

$m^{2}$

Geben Sie Ihr Ergebnis bitte auf drei Nachkommastellen gerundet oder als Ausdruck an. Dabei wird der Sinus eines Winkels $x$ als sin(x) und die Zahl $π$ als pi geschrieben.

Der Flächeninhalt ist durch

$F = \frac{1}{2} \cdot \left( a \cdot \sin \left( \beta \right) \right) \cdot c % = \frac{1}{2} \cdot 4\MEinheit{m} \cdot \sin \left( \Mtfrac{11 \pi}{36} \right) \cdot \MZahl{0}{6}\MEinheit{m} % = \sin \left( \Mtfrac{11 \pi}{36} \right) \cdot \MZahl{1}{2}\MEinheit{m}^2 \approx \MZahl{0}{983}\MEinheit{m}^2 %%$
gegeben.

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