6.4.2 Inhalt

Eine Exponentialfunktion soll nicht nur für ausgewählte, spezielle oder isolierte Werte der Veränderlichen $x$ definiert sein, sondern, wenn möglich, für alle reellen Zahlen. Würde man negative Basiswerte $a<0$ zulassen, so würden sofort Probleme beim Wurzelziehen - siehe $a^{(1/2)}=\sqrt{a},a^{1/4},a^{1/12}$ etc. - auftreten. Zum Beispiel sind Quadratwurzeln aus negativen Zahlen nicht definiert, vergleiche auch Abschnitt 6.3.

In jeder Verdopplungszeitspanne von $13$ Minuten verdoppelt sich - wie der Name schon sagt - die Bakterienpopulation. Jeweils bezogen auf den Ausgangswert ($500$ Bakterien) hat sich also die Anzahl an Bakterien nach einer Zeitspanne von $13$ Minuten verdoppelt, nach zwei solchen Zeitspannen vervierfacht, nach $3·13$ Minuten verachtfacht (immer - wie erwähnt - im Vergleich zum Anfangswert) usw. Daran erkennen wir, dass bei dem Wachstumsprozess $2$er-Potenzen involviert sind; dementsprechend wählen wir als Basis für den funktionalen Zusammenhang $a=2$.

Diese Überlegung legt auch den Exponenten der gesuchten Exponentialfunktion fest: Unsere Zeitmessung muss sich auf die $13$-Minuten-Zeitspanne beziehen, der Exponent ist daher $\frac{t}{13}$. Nach $13$ Minuten ergibt sich somit für den Exponenten $\frac{13}{13}=1$. Der Wachstumsfaktor ergibt sich zu $2^{(13/13)}=2$. Nach zwei Zeitspannen (gleich $26$ Minuten) ist der Exponent $\frac{26}{13}=2$ und damit der Wachstumsfaktor insgesamt $2^{(26/13)}=2^2=4$ usw.

Schließlich müssen wir $2^{(t/13)}$ noch mit dem richtigen Anfangswert ($500$ Bakterien) gewichten; dies geschieht mit Hilfe des Faktors $500$.