7.2.3 Ableitung spezieller Funktionen

Ableitung trigonometrischer Funktionen

Die Sinusfunktion $f:ℝ\to ℝ$, $x\mapsto f(x)=\sin (x)$ ist periodisch mit Periode $2\pi$. Somit genügt es, die Funktion auf einem Intervall der Länge $2\pi$ zu betrachten. Einen Ausschnitt des Graphen für $-\pi \le x\le \pi$ zeigt die folgende Abbildung:



Wie in der Abbildung zu sehen, ist die Steigung des Sinus bei $x_0=\pm \frac{\pi }{2}$ gerade $f\text{'}(\pm \frac{\pi }{2})=0$. Legt man eine Tangente an der Stelle $x_0=0$ an den Graphen der Sinusfunktion, erhält man als deren Steigung $f\text{'}(0)=1$. Untersucht man die Stellen $x_0=\pm \pi$, so findet man, dass dort die gleiche Steigung wie bei $x_0=0$, aber mit umgedrehtem Vorzeichen, vorliegt. Die Steigung ist dort also $f\text{'}(\pm \pi )=-1$. Die Ableitung des Sinus ist also eine Funktion, die genau diese Eigenschaften erfüllt. Eine genaue Untersuchung der Bereiche zwischen diesen speziell ausgesuchten Stellen ergibt, dass der Kosinus die Ableitung des Sinus darstellt:

Letzteres ergibt sich auch aus den nachfolgend erläuterten Rechenregeln und der Definition des Tangens als Quotient von Sinus und Kosinus.

Ableitung der Exponentialfunktion

Ableitung der Logarithmusfunktion

Die Ableitung der Logarithmusfunktion wird hier ohne Beweis angegeben. Für $f:]0;\infty [\to ℝ$ mit $x\mapsto f(x)=\ln (x)$ erhält man $f\text{'}:]0;\infty [\to ℝ$, $x\mapsto f\text{'}(x)=\frac{1}{x}$.