7.4.2 Monotonie

Beispiel 7.4.1  
Die Funktion $f:ℝ\to ℝ,x\mapsto x^3$ ist differenzierbar mit $f\text{'}(x)=3x^2$. Da $x^2\ge 0$ für alle $x\in ℝ$ gilt, ist $f\text{'}(x)\ge 0$ und damit $f$ monoton wachsend.

Für $g:ℝ\to ℝ$ mit $g(x)=2x^3+6x^2-18x+10$ besitzt $g\text{'}(x)=6x^2+12x-18=6(x+3)(x-1)$ die Nullstellen $x_1=-3$ und $x_2=1$. Zur Untersuchung des Monotonieverhaltens werden also drei Bereiche unterschieden, in denen die Ableitung $g\text{'}$ jeweils ein anderes Vorzeichen hat.

Mit Hilfe folgender Tabelle wird bestimmt, in welchen Bereichen die Ableitung von $g$ positiv bzw. negativ ist. Diese Bereiche entsprechen den Monotoniebereichen von $g$. Der Eintrag $+$ besagt, dass der betrachtete Term im angegebenen Intervall positiv ist. Wenn er negativ ist, wird $-$ eingetragen:


Für die Funktion $h:ℝ\setminus \{0\}\to ℝ$ mit $h(x)=\frac{1}{x}$ gilt $h\text{'}(x)=-\frac{1}{x^2}$. Hier ist $h\text{'}(x)<0$ für alle $x\ne 0$.

Auch wenn für die beiden Teilbereiche $x<0$ und $x>0$ dasselbe Monotonieverhalten auftritt, ist $h$ nicht über den gesamten Definitionsbereich monoton fallend. Als Gegenbeispiel kann $h(-2)=-\frac{1}{2}$ und $h(1)=1$ angeführt werden. Hier gilt $-2<1$, aber auch $h(-2)<h(1)$. Dies entspricht einem wachsenden Verhalten beim Übergang vom einen zum anderen Teilbereich. Dass die Funktion $h$ auf $]-\infty ;0[$ monoton fallend ist, bedeutet also, die Einschränkung von $h$ auf dieses Intervall ist monoton fallend. Zudem ist $h$ für alle $x>0$ ebenfalls monoton fallend.