6.3.2 Wurzelfunktionen

Dieses Beispiel zeigt, dass Funktionen mit Abbildungsvorschriften, die Wurzeln der Veränderlichen enthalten, natürlicherweise in Anwendungen der Mathematik auftauchen.

Für natürliche Zahlen $n\in \mathbb{N}$, $n>1$ bezeichnet man die Funktionen

${\displaystyle f_n:\mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}\{\begin{array}{ccc}\hfill D_{f_n}& \hfill \to \hfill & ℝ\hfill \\ \hfill x& \hfill ⟼\hfill & \sqrt[n]{x}=x^{\frac{1}{n}}\hfill \end{array}}$
als die Klasse der Wurzelfunktionen. Diese beinhalten offenbar die Quadratwurzel $f_2(x)=\sqrt{x}$, die dritte Wurzel $f_3(x)=\sqrt[3]{x}$, die vierte Wurzel $f_4(x)=\sqrt[4]{x}$, usw. als Abbildungsvorschriften von Funktionen (vgl. Potenzgesetze).

Von großem Interesse ist nun der größtmögliche Definitionsbereich $D_{f_n}$, der für diese Wurzelfunktionen möglich ist. Denn offenbar kommt es auf den Wurzelexponenten $n$ an, welche Werte man für $x$ in die Abbildungsvorschriften einsetzen darf, um reelle Werte als Ergebnisse zu erhalten. So erkennen wir, dass bei der Quadratwurzel $\sqrt{\hspace{0.5em}}$ nur nicht-negative Werte ein reelles Ergebnis liefern. Betrachten wir allerdings die Kubikwurzel $\sqrt[3]{\hspace{0.5em}}$, so erhalten wir in diesem Fall, dass alle reellen Zahlen eingesetzt wieder reelle Zahlen als Ergebnis liefern, so etwa $\sqrt[3]{-27}=-3$. Allgemein gilt:



Damit erhält man folgendes Aussehen für die Graphen der ersten vier Wurzelfunktionen $f_2,f_3,f_4,f_5$:




Aus dem Verlauf der Graphen sieht man, dass alle Wurzelfunktionen streng monoton wachsend sind.