2. Geometrie
  3. Rund um Dreiecke
  4. Pythagoras

5.3.3 Satz des Pythagoras



Eine Aussage über die Seitenlängen in einem rechtwinkligen Dreieck bietet der Satz des Pythagoras. Dieser wird hier in einer oft verwendeten Formulierung angegeben.

Satz des Pythagoras 5.3.3  

Es wird ein rechtwinkliges Dreieck betrachtet, in dem der rechte Winkel bei C liegt.


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Abbildung 5.3.4: Skizze  (C)

Dann ist die Summe der Quadrate über den Katheten a und b gleich dem Quadrat über der Hypotenuse c. Mit den genannten Bezeichnungen gilt somit (siehe auch das abgebildete Dreieck):

a2 + b2 = c2  .

Werden die Seiten des Dreiecks anders bezeichnet, muss die Gleichung entsprechend angepasst werden!


Beispiel 5.3.4  
Gegeben sei ein rechtwinkliges Dreieck mit den Kathetenlängen a=6 und b=8.

Die Länge der Hypotenuse kann mithilfe des Satzes von Pythagoras berechnet werden:

c= c2 = a2 + b2 =36+64=100=10 .



Aufgabe 5.3.5  
Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit rechtem Winkel in C, der Hypotenuse c= 25 3 und der Höhe hc =4 sowie der Strecke DB ‾ mit q=[ DB ‾ ]=3. Dabei bezeichnet D den Höhenfußpunkt der Höhe hc . Berechnen Sie die Länge der beiden Katheten a und b.



Der Satz des Thales ist ein weiterer wichtiger Satz, der eine Aussage über rechtwinklige Dreiecke ausdrückt.
Satz des Thales 5.3.6  


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Abbildung 5.3.5: Skizze  (C)

Hat das Dreieck ABC bei C einen rechten Winkel, so liegt C auf einem Kreis mit Radius r und der Hypotenuse AB ‾ als Durchmesser der Länge 2r.





Die umgekehrte Aussage gilt ebenso. Wenn man über einer Strecke AB ‾ einen Halbkreis konstruiert und dann A und B mit einem beliebigen Punkt C auf dem Halbkreis verbindet, dann ist das so entstandene Dreieck immer rechtwinklig.

Beispiel 5.3.7  
Es soll ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenusenlänge c=6 cm und der Höhe hc =2,5 cm konstruiert werden.

  1. Zuerst zeichnet man die Hypotenuse

    c= AB ‾  .



  2. Die Mitte der Hypotenuse wird nun zum Mittelpunkt eines Kreises mit dem Radius r=c/2.

  3. Nun zeichnet man eine Parallele zur Hypotenuse im Abstand hc . Es gibt zwei Schnittpunkte C und C' dieser Parallelen mit dem Thaleskreis.

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Abbildung 5.3.6: Skizze  (C)

Diese Schnittpunkte sind jeweils die dritte Ecke eines Dreiecks, das die geforderten Eigenschaften hat, das heißt, man erhält zwei Lösungen. Würde man noch einen Thaleskreis nach unten zeichen, so ergäben sich noch mal zwei Lösungen. Wenn es nicht um die Lage, sondern nur um die „Form“ der Dreiecke geht, dann sind alle diese Dreiecke „deckungsgleich“ (siehe auch 5.3.13).


Aufgabe 5.3.8  
Welche Höhe hc kann ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse c maximal haben?



Aufgabe 5.3.12  
Berechnen Sie für ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse c=10,5 und dem Hypotenusenabschnitt q=3,78 die Länge der beiden Katheten.