7.2.2 Ableitung von Potenzfunktionen

Aus der Einführung der Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten ergibt sich für eine affin lineare Funktion (siehe Modul 6, Abschnitt 6.2.4) $f:ℝ\to ℝ$, $x\mapsto f\left(x\right)=mx+b$, wobei $m$ und $b$ gegebene Zahlen sind, dass der Wert der Ableitung von $f$ an der Stelle $x_0$ gleich $f\text{'}(x_0)=m$ ist. (Die geneigte Leserin, der geneigte Leser möge dies gerne selbst überprüfen!)

Für Monome $x^n$ mit $n\ge 1$ ist es am einfachsten, die Ableitung über den Differenzenquotienten zu bestimmen. Ohne hier eine detaillierte Rechnung oder einen Beweis anzugeben, erhält man die folgenden Aussagen:



Auch die Überprüfung dieser Aussagen sei dem Selbststudium überlassen!



Für Wurzelfunktionen ergibt sich eine entsprechende Aussage. Allerdings ist zu beachten, dass Wurzelfunktionen nur für $x>0$ differenzierbar sind. Denn die Tangente an den Funktionsgraphen durch den Punkt $(0;0)$ verläuft parallel zur $y$-Achse und ist somit kein Schaubild einer Funktion.



Für $n\in \mathbb{N}$ werden durch $f(x)=x^{\frac{1}{n}}$ Wurzelfunktionen beschrieben. Die hier wiedergegebene Ableitungsregel gilt natürlich auch für $n=1$ oder $n=-1$.

Die bisherigen Aussagen können für $x>0$ auf Exponenten $p\in ℝ$ mit $p\ne 0$ ausgedehnt werden: Der Wert $f\text{'}(x)$ der Ableitung einer Funktion $f$ mit Funktionsterm $f(x)=x^p$ für $x>0$ ist

${\displaystyle f\text{'}(x)=p·x^{p-1}\hspace{0.5em}.}$