7.2.2 Ableitung von Potenzfunktionen



Aus der Einführung der Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten ergibt sich für eine affin lineare Funktion (siehe Modul 6, Abschnitt 6.2.4) f:, xf(x)=mx+b, wobei m und b gegebene Zahlen sind, dass der Wert der Ableitung von f an der Stelle x0 gleich f'( x0 )=m ist. (Die geneigte Leserin, der geneigte Leser möge dies gerne selbst überprüfen!)

Für Monome xn mit n1 ist es am einfachsten, die Ableitung über den Differenzenquotienten zu bestimmen. Ohne hier eine detaillierte Rechnung oder einen Beweis anzugeben, erhält man die folgenden Aussagen:

Ableitung von xn 7.2.1  
Gegeben sind eine natürliche Zahl n und eine reelle Zahl r.

Die konstante Funktion f: mit xf(x):=r=r· x0 besitzt die Ableitung f': mit xf'(x)=0.

Die Funktion f: mit xf(x):=r· xn besitzt die Ableitung

f': mit xf'(x)=r·n· xn-1 .

Diese Ableitungsregel gilt im Übrigen auch für n{0}.


Auch die Überprüfung dieser Aussagen sei dem Selbststudium überlassen!

Beispiel 7.2.2  
Die folgende Untersuchung gilt der Funktion f: mit xf(x)=5 x3 . Der Vergleich der gegebenen Funktion mit den oben verwendeten Bezeichnungen ergibt r=5 und n=3. Damit erhält man für den Wert der Ableitung an der Stelle x

f'(x)=5·3 x3-1 =15 x2 .



Für Wurzelfunktionen ergibt sich eine entsprechende Aussage. Allerdings ist zu beachten, dass Wurzelfunktionen nur für x>0 differenzierbar sind. Denn die Tangente an den Funktionsgraphen durch den Punkt (0;0) verläuft parallel zur y-Achse und ist somit kein Schaubild einer Funktion.

Ableitung von x 1 n 7.2.3  
Für n mit n0 ist die Funktion f:[0;[ , xf(x):= x 1 n für x>0 differenzierbar, und es gilt

f': ]0;[ ,xf'(x)= 1 n · x 1 n -1 .



Für n werden durch f(x)= x 1 n Wurzelfunktionen beschrieben. Die hier wiedergegebene Ableitungsregel gilt natürlich auch für n=1 oder n=-1.
Beispiel 7.2.4  
Die Wurzelfunktion f:[0;[ mit xf(x):=x= x 1 2 ist für x>0 differenzierbar. Der Wert der Ableitung an einer beliebigen Stelle x>0 ist durch

f'(x)= 1 2 · x 1 2 -1 = 1 2 · x- 1 2 = 1 2·x

gegeben. Die Ableitung in x0 =0 existiert nicht, da die Tangente an den Graphen von f dort eine unendliche Steigung hätte.

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Abbildung 7.2.1: Skizze  (C)



Die Tangente im Punkt (1;1) an den Graphen der vorliegenden Wurzelfunktion weist die Steigung 1 21 = 1 2 auf.


Die bisherigen Aussagen können für x>0 auf Exponenten p mit p0 ausgedehnt werden: Der Wert f'(x) der Ableitung einer Funktion f mit Funktionsterm f(x)= xp für x>0 ist

f'(x)=p· xp-1 .