1.4.3 Aufgaben

Aufgabe 1.4.18
Berechnen Sie die folgenden Potenzen:

${(- \frac{3}{5})}^{4}$ $=$

.

${(- \frac{3}{5})}^{4} = \frac{3^{4}}{5^{4}} = \frac{81}{625} .$
${(2^{- 2})}^{- 3}$ $=$

.

${(2^{- 2})}^{- 3} = 2^{(- 2) \cdot (- 3)} = 2^{6} = 64 .$
${(- \frac{1}{2})}^{0}$ $=$

.

${(- \frac{1}{2})}^{0} = 1 .$

Aufgabe 1.4.19
Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke mit den Potenzregeln und durch Kürzen, die Potenzen brauchen Sie dabei nicht auszuwerten:

$\frac{(- 2)^{7}}{(- 2)^{5}}$ $=$

.

$\frac{(- 2)^{7}}{(- 2)^{5}} = (- 2)^{7 - 5} = (- 2)^{2} .$
$6^{2} \cdot 3^{- 2}$ $=$

.

$6^{2} \cdot 3^{- 2} = 6^{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{2} = {(6 \cdot \frac{1}{3})}^{2} = 2^{2} .$
$\frac{64^{3}}{8^{3}}$ $=$

.

$\frac{64^{3}}{8^{3}} = {(\frac{64}{8})}^{3} = 8^{3} .$
${(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{3}} \cdot {(\frac{3}{4})}^{\frac{2}{3}}$ $=$

.

${(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{3}} \cdot {(\frac{3}{4})}^{\frac{2}{3}} = {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} = \frac{3}{4} .$

Aufgabe 1.4.20
Berechnen Sie die folgenden Wurzeln (es kommen hier stets ganze Zahlen heraus):

$\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{9}$ $=$

.

$\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{9} = \sqrt[3]{3 \cdot 3 \cdot 3} = 3 .$
$\sqrt[3]{343}$ $=$

.

$\sqrt[3]{343} = \sqrt[3]{7^{3}} = 7 .$

Aufgabe 1.4.21
Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke und berechnen Sie den Zahlenwert als gekürzten Bruch ohne Potenzausdrücke:

$\frac{3^{3} \cdot 6^{3}}{9 \cdot 2^{3} \cdot 4^{3}}$ $=$

.

$\frac{3^{3} \cdot 6^{3}}{9 \cdot 2^{3} \cdot 4^{3}} = \frac{3^{4} \cdot 2^{3}}{2^{3} \cdot 4^{3}} = \frac{3^{4}}{4^{3}} = \frac{81}{64} .$
$3^{2} \cdot 9^{- 3} \cdot 27^{6} \cdot 27^{- 2}$ $=$

.

$3^{2} \cdot 9^{- 3} \cdot 27^{- 2} \cdot 27^{6} = 3^{2 + 2 \cdot (- 3) + 3 \cdot (- 2) + 3 \cdot 6} = 3^{8} = 9^{4} = 81^{2} = (80 + 1)^{2} = 6400 + 160 + 1 = 6561 Potenz ist aufzulösen .$