1.2.2 Umwandeln von Brüchen



Wird ein Bruch ausdividiert, so erhält man einen Dezimalbruch bzw. eine Dezimalzahl, zum Beispiel

1 2 =0,5, 1 3 =0,33333=0, 3 , 1 7 =0, 142857 , 1 8 =0,125.

Schon an diesen Beispielen zeigt sich, dass die Division entweder aufgehen kann und man einen endlichen Dezimalbruch erhält oder aber die Ziffern wiederholen sich in einer bestimmten Reihenfolge, dann liegt ein unendlicher periodischer Dezimalbruch vor.

Die Umwandlung von endlichen Dezimalbrüchen in Brüche geschieht mit der Stellentafel. Jeder Dezimalbruch hat die Form
 
12345,6789
ZTTHZE,zhtzt
 



wobei ZT ... Zehntausender, T ... Tausender, H ... Hunderter, Z ... Zehner, E ... Einer, z ... Zehntel, h ... Hundertstel, t ... Tausendstel, zt ... Zehntausendstel u.s.w. beschreiben.
Die Umwandlung sieht dann folgendermaßen aus:

4,375 = 4+ 3 10 + 7 100 + 5 1000 = 4+ 300+70+5 1000 = 4+ 375 1000 = 4+ 75 200 = 4+ 15 40 = 35 8 .

Aber wie sieht es bei periodischen Dezimalbrüchen aus? Anscheinend müssten hier unendlich viele Brüche aufsummiert werden, was in der Praxis natürlich wenig Sinn macht. Daher bedient man sich bei der Umwandlung unendlicher periodischer Dezimalbrüche in Brüche eines Tricks:

Info 1.2.13  
 
Die Umwandlung periodischer Dezimalbrüche in Brüche geschieht, indem man durch Multiplikation mit einer Zehnerpotenz die periodischen Nachkommastellen vor das Komma holt. Dies ergibt eine Gleichung der Form 10k ·x=x+n für den Dezimalbruch x, der zu x= n 10k -1 (ein gewöhnlicher Bruch) aufgelöst werden kann.


Beispiel 1.2.14  
Die Zahl 0, 6 soll in einen Bruch umgewandelt werden. Hierzu multipliziert man die Zahl mit 10 und subtrahiert vom Ergebnis die Ausgangszahl, um die unendliche Periode zu eliminieren:
10 · 0, 6 = 6, 6
- 1 · 0, 6 = 0, 6
9 · 0, 6 = 6,0
Aus der letzten Beziehung folgt nach Division durch 9 sofort:    0, 6 = 6 9 = 2 3 .


Dieses Vorgehen funktioniert auch, wenn sich nicht alle Ziffern hinter dem Komma periodisch wiederholen:

Beispiel 1.2.15  
Der Dezimalbruch 0,8 3 =0,83333 soll in einen Bruch umgewandelt werden:
100 · 0,8 3 = 83, 3
- 10 · 0,8 3 = 8, 3
90 · 0,8 3 = 75,0
Division durch 90 liefert das Ergebnis: 0,8 3 = 75 90 = 5 6 .


Die Vorgehensweise ist also immer dieselbe: durch geeignete Multiplikation mit Zehnerpotenzen und anschließender Subtraktion wird die unendliche Periode entfernt.

Aufgabe 1.2.16  
Berechnen Sie mit dem obigen Verfahren einen gewöhnlichen und gekürzten Bruch, der den Wert 0,45555 darstellt.  
 
Antwort: 0,4 5 = .  
Geben Sie den Bruch in der Form Zähler/Nenner maximal gekürzt und mit positivem Nenner ein.  


Beim überschlägigen Rechnen (wenn man also nur ungefähr die Größe oder das Verhältnis einer Zahl zu anderen Zahlen abschätzen möchte ohne den exakten Wert als Dezimalbruch zu kennen) ist es dagegen hilfreich, statt einer Umwandlung mit dem Hauptnenner zu multiplizieren:

Beispiel 1.2.17  
Die Brüche 2 3 , 32 12 und 12 15 sollen der Größe nach angeordnet werden. Dazu multipliziert man die Brüche mit dem Hauptnenner (hier ist das 60). Die Nenner verschwinden und es entstehen die ganzen Zahlen

2 3 ·60  =  2·20  =  40    ,     32 12 ·60  =  32·5  =  160    ,     12 15 ·60  =  12·4  =  48.

Anordnen nach Größe ergibt 40<48<160. Damit ist dann 2 3 < 12 15 < 32 12 da die Multiplikation der Brüche mit der gleichen Zahl 60 die Anordnung der Brüche nicht verändert (im Abschnitt 3.1 über Ungleichungen und wie man diese umformt).


Aufgabe 1.2.18  
Wie lautet die Anordnung der Brüche 16 15 , 1 2 , 2 3 2 -3 , 60 90 und 4 3 der Größe nach?  
  <    <    =    <    <  .