1.4.2 Rechnen mit Potenzen

Die folgenden Rechenregeln ermöglichen das Umformen und Vereinfachen von Ausdrücken, die Potenzen oder Wurzeln enthalten:

Info 1.4.13

Für

a, b \in ℝ, a, b > 0, p, q \in ℚ

gelten die Potenzgesetze:

a^{p} \cdot b^{p} = (a \cdot b)^{p}, \frac{a^{p}}{b^{p}} = {(\frac{a}{b})}^{p}, a^{p} \cdot a^{q} = a^{p + q}, \frac{a^{p}}{a^{q}} = a^{p - q}, (a^{p})^{q} = a^{p \cdot q} .

Insbesondere ist zu beachten, dass im Allgemeinen

(a^{p})^{q} \neq a^{p^{q}}

ist, d. h. bei mehrfachem Potenzieren sollten Klammern gesetzt werden. Zum Beispiel ist

{(2^{3})}^{2} = 8^{2} = 64

, aber

2^{(3^{2})} = 2^{9} = 512

.

Formel zu klein? Mit einem Doppelklick auf eine Formel wird sie vergrößert dargestellt.

Beispiel 1.4.14
Sind keine Klammern gesetzt, so wird

a^{p^{q}}

als

a^{(p^{q})}

interpretiert, also beispielsweise

2^{3^4} & =& 2^{3\cdot3\cdot3\cdot 3} \;=\; 2^{81} \;=\; 2417851639229258349412352\;\; \text{(Exponent zuerst ausgewertet)}\\ (2^3)^4 &=& 8^4 \;=\; 4096 \;\; \text{(Klammer zuerst ausgewertet)}\MDFPeriod

Alternativ könnte man auch mit den Potenzgesetzen

(2^{3})^{4} = 2^{(3 \cdot 4)} = 2^{12} = 4096

ausrechnen.

Aufgabe 1.4.15
Die folgenden Ausdrücke kann man mit Hilfe der Potenzgesetze vereinfachen:

$3^{3} \cdot 3^{5} \cdot 3^{- 1}$ $=$

.

$3^{3} \cdot 3^{5} \cdot 3^{- 1} = 3^{3 + 5 - 1} = 3^{7} .$
$4^{2} \cdot 3^{2}$ $=$

.

$4^{2} \cdot 3^{2} = (4 \cdot 3)^{2} = 12^{2} .$

Beim Vergleichen von Potenzen und Wurzeln ist Vorsicht geboten: Nicht nur die Zahlenwerte, auch die Vorzeichen von Exponent und Basis haben einen Einfluss darauf, ob der Wert der Potenz groß oder klein ist:

Beispiel 1.4.16
Bei positiver Basis und negativen Exponenten nimmt der Wert der Potenz ab, wenn man die Basis vergrößert:

2^{-1} &=& \frac12\;=\; \MZahl{0}{5}\ \\ 3^{-1} &=& \frac13\;=\; \MZahl{0}{}\bar 3\ \\ 4^{-1} &=& \frac14\;=\; \MZahl{0}{25}\; \text{usw.}

Bei negativer Basis wechselt dagegen das Vorzeichen der Potenz, wenn man den Exponenten erhöht:

(-2)^1 &=& -2\\ (-2)^2 &=& 4\\ (-2)^3 &=& -8\\ (-2)^4 &=& 16 \; \text{usw.}

Das Ziehen von Wurzeln (bzw. Potenzieren mit einer positiven Zahl kleiner Eins) verkleinert eine Basis

> 1

, aber vergrößert eine Basis

< 1

\sqrt{2} &=& \MZahl{1}{414}\ldots\;\; < \;\; 2\\ \sqrt{3} &=& \MZahl{1}{732}\ldots\;\; < \;\; 3\\ \sqrt{\MZahl{0}{5}} &=& \MZahl{0}{707}\ldots\;\; > \;\; \MZahl{0}{5}\\ \sqrt{\MZahl{0}{}\bar 3} &=& \MZahl{0}{577}\ldots\;\; > \;\; \MZahl{0}{}\bar 3\;\text{usw.}

Aufgabe 1.4.17
Ordnen Sie diese Potenzen der Größe nach an unter Beachtung der Vorzeichen von Basen und Exponenten:

2^{3}

2^{- 3}

3^{2}

(- 3)^{2}

(- 3)^{- 2}

3^{\frac{1}{2}}

2^{\frac{1}{3}}

<

<

<

<

<

=

Hier gibt es mehrere Wege zur richtigen Lösung. Beispielsweise lohnt es sich, zunächst alle Potenzen mit Drei zu potenzieren (analog zur Rechnung in Beispiel 1.2.17). Potenzieren mit der Drei ist dabei erlaubt, weil es eine ungerade Zahl ist, die als Exponent das Vorzeichen nicht aufhebt. Potenzieren mit der Zwei würde dagegen die richtige Anordnung der Zahlen aufheben. Es ergibt sich

(2^3)^3 &=& 2^{3\cdot 3} \;=\; 2^9 \;=\; 512\\ (2^{-3})^3 &=& 2^{(-3)\cdot 3}\;=\; 2^{-9} \;=\; \frac1{512}\;\text{da Exponent negativ}\\ (3^2)^3 &=& 9^3 \;=\; 81\cdot9 \;=\; 729\\ ((-3)^2)^3 &=& 9^3 \;=\; 729\;\text{da Exponent gerade}\\ ((-3)^{-2})^3 &=& \frac1{((-3)^2)^3} \;=\; \frac1{729}\\ (3^{\frac12})^3 &=& 3^{\frac32}\; >\; 3 \;\text{(da Exponent größer als Eins)}\\ (2^{\frac13})^3 &=& 2\: .

Vergleichen dieser Werte führt auf die Anordnung

(- 3)^{- 2} < 2^{- 3} < 2^{\frac{1}{3}} < 3^{\frac{1}{2}} < 2^{3} < 3^{2} = (- 3)^{2} .

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