7.3.4 Verkettung von Funktionen



Zum Abschluss wird die Verkettung (Modul 6, Abschnitt 6.6.3) von Funktionen untersucht: Was passiert, wenn eine Funktion u (die innere Funktion) in eine andere Funktion v (die äußere Funktion) sozusagen eingesetzt wird? Eine solche Verkettung wird in der Mathematik durch die Schreibweise f:=vu mit f(x)=(vu)(x):=v(u(x)) dargestellt. Dies bedeutet, dass zunächst der Wert einer Funktion u in Abhängigkeit von der Variable x bestimmt wird. Dieser so berechnete Wert u(x) wird dann als Argument der Funktion v verwendet. Auf diese Weise entsteht der endgültige Funktionswert v(u(x)).

Kettenregel 7.3.7  
Die Ableitung der Funktion f:=vu mit f(x)=(vu)(x):=v(u(x)) kann mit der Kettenregel bestimmt werden; es gilt:

f'(x)=v'(u(x))·u'(x).

Hierbei ist v'(u(x)) so zu verstehen, dass man v als Funktion von u auffasst und dementsprechend nach u differenziert; anschließend wertet man v'(u) für u=u(x) aus.
Hilfreich ist der Merksatz: Ableitung der Verkettung ist äußere Ableitung mal innere Ableitung.


Diese Ableitungsregel soll anhand einiger Beispiele verdeutlicht werden:

Beispiel 7.3.8  
Gesucht wird die Ableitung der Funktion f: mit f(x)=(3-2x )5 . Soll die Kettenregel angewendet werden, sind eine innere und eine äußere Funktion zu identifizieren. Setzt man für die innere Funktion u den Funktionsterm u(x)=3-2x, dann ist die äußere Funktion v durch v(u)= u5 gegeben. Damit gilt wie verlangt v(u(x))=f(x).

Ableiten der inneren Funktion u nach x liefert u'(x)=-2. Für die äußere Ableitung differenziert man v nach u und findet v'(u)=5 u4 . Einsetzen dieser Zwischenergebnisse in die Kettenregel führt auf die Ableitung f' der Funktion f mit:

f'(x)=5(u(x ))4 ·(-2)=5(3-2x )4 ·(-2)=-10(3-2x )4 .



Als zweites Beispiel soll die Ableitung von g: mit g(x)=e x3 berechnet werden. Dazu bieten sich die Zuordnungen xu(x)= x3 für die innere Funktion u und uv(u)=eu für die äußere Funktion v an. Die Bestimmung der inneren und der äußeren Ableitung führt auf u'(x)=3 x2 und v'(u)=eu . Setzt man beides in die Kettenregel ein, erhält man die Ableitung der Funktion g:

g':,xg'(x)=eu(x) ·3 x2 =e x3 ·3 x2 =3 x2 e x3 .