11.3.2 Robuste Maßzahlen

Die in diesem Abschnitt vorgestellten Maßzahlen sind robust gegenüber Ausreißern, d.h. starke Änderungen einzelner Datenwerte verändern diese Maßzahlen nicht oder nur wenig.

Vorgegeben sei eine Urliste

${\displaystyle x\mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}=\mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}(x_1,x_2,\dots ,x_n)}$

zu einer Stichprobe vom Umfang $n$. Die Daten $x_i$ seien Merkmalswerte eines quantitativen Merkmals $X$.







Im Gegensatz zum arithmetischen Mittel ist der (empirische) Median unempfindlich gegenüber Ausreißerdaten. Es kann z.B. der größte Wert in der Urliste beliebig vergrößert werden, ohne dass sich der Median ändert.



Etwa die Hälfte der Daten in der Urliste sind kleinergleich und etwa die Hälfte der Daten in der Urliste sind größergleich als der Median $\tilde{x}$. Dieses Prinzip kann man verallgemeinern, um Quantile zu definieren. Vorgegeben sei dazu eine Urliste $x=(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ zu einer Stichprobe vom Umfang $n$ eines quantitativen Merkmals $X$.



Das $\mathrm{0,25}$-Quantil nennt man auch das untere Quartil. Es trennt in etwa das untere Viertel der Datenwerte ab. Das $\mathrm{0,75}$-Quantil nennt man entsprechend das obere Quartil. Für $\alpha =\mathrm{0,5}$ ergibt sich der Median, also $\tilde{x}={\tilde{x}}_{\mathrm{0,5}}$. Ist $\alpha \in (\mathrm{0,1})$, so wird die Datenreihe $x_1,x_2,\dots ,x_n$ so aufgeteilt, dass etwa $\alpha ·100\%$ der Daten kleinergleich ${\tilde{x}}_{\alpha }$ und etwa $(1-\alpha )·100\%$ der Daten größergleich ${\tilde{x}}_{\alpha }$ sind.



Vorgegeben sei wieder eine Stichprobe vom Umfang $n$ zu einem quantitativen Merkmal $X$ mit zugehöriger geordneter Stichprobe

${\displaystyle x_{(\mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}})}\mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}=\mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}(x_{(1)},x_{(2)},\dots ,x_{(n)})}$

und

${\displaystyle \alpha \in [0,\mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}0.5)\mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}\mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}\text{und}\mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}\mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}k\mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}=\mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}\text{floor}(n·\alpha )\mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}=\mathrm{\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}}\lfloor n·\alpha \rfloor \hspace{0.5em}.}$





Das $\alpha$-getrimmte Mittel ist ein arithmetischer Mittelwert, welcher die $\alpha ·100\%$ größten und die $\alpha ·100\%$ kleinsten Daten nicht in die Rechnung mit einbezieht. Es stellt somit ein flexibles Instrument zum Schutz gegenüber Ausreißern an den Rändern des Datenbereichs dar. Bei der Verwendung ist aber zu bedenken, dass nicht mehr alle ermittelten Daten in die Rechnung einfließen.