7.1.3 Ableitung

Wenn die Ableitung mithilfe des Differenzenquotienten $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ berechnet werden muss, bietet es sich oft an, den Differenzenquotienten anders aufzuschreiben. Verwendet man die Differenz von $x$ und $x_0$ und bezeichnet sie als $h:=x-x_0$,



kann der Differenzenquotient mit $x=x_0+h$ umgeschrieben werden zu

${\displaystyle \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\hspace{0.5em}.}$
Es wurde keine Voraussetzung darüber getroffen, ob $x$ größer oder kleiner als $x_0$ ist. Die Größe $h$ kann daher positive oder negative Werte annehmen. Um die Ableitung der Funktion $f$ zu bestimmen, muss nun der Grenzwert für $h\to 0$ berechnet werden:

${\displaystyle f\text{'}(x_0)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\hspace{0.5em}.}$
Wenn dieser Grenzwert für alle Stellen $x_0$ aus dem Definitionsbereich einer Funktion existiert, so nennt man diese Funktion (insgesamt) differenzierbar. Viele der häufig benutzten Funktionen sind differenzierbar. Ein einfaches Beispiel dafür, dass eine Funktion nicht unbedingt differenzierbar ist, ist die Betragsfunktion $f:ℝ\to ℝ$ mit $x\mapsto f(x):=|x|$.



Auch wenn eine Funktion eine Sprungstelle hat, gibt es keine eindeutige Tangente an den Graphen und somit keine Ableitung.