9.1.2 Punkte in kartesischen Koordinatensystemen

Wenn man nun Punkte in der Ebene durch Koordinaten beschreiben möchte, benutzt man auch hier oft Variablen. Typischerweise sind dies Großbuchstaben $A,B,C,\dots$ oder $P,Q,R,\dots$ für Punkte und Kleinbuchstaben $a,b,c,\dots$ oder $x,y,\dots$ für ihre Koordinaten. Zunächst wird nun festgelegt, was unter einem Punkt in der Ebene, in welcher ein Koordinatensystem gegeben ist, zu verstehen sein soll und welche Schreibweisen dafür im Folgenden benutzt werden.



Für Punkte gibt es verschiedene Notationen. In der Schule wird oft $P(a|b)$ statt $P=(a;b)$ geschrieben, oft statt dem Semikolon ein Trennstrich oder ein Komma als Trennzeichen zwischen den Koordinaten benutzt. In diesem Kurs wird durchgehend die Bezeichnung $P=(a;b)$ verwendet. Da Punkte durch ihre Koordinaten eindeutig bestimmt werden, wird im Folgenden nicht mehr zwischen dem Punkt $P$ und seinen Koordinaten $(a;b)$ unterschieden, sondern beide werden als das gleiche Objekt aufgefasst. Ein besonderer Punkt in jedem Koordinatensystem ist natürlich der Ursprung mit dem Koordinatenpaar $(0;0)$; für diesen wird üblicherweise die Variable $O$ (vom englischen origin) reserviert, also: $O=(0;0)$.

In den folgenden Abschnitten sollen nun weitere geometrische Objekte, wie etwa Geraden und Kreise, durch Koordinaten beschrieben werden. Dafür muss man sich zunächst klarmachen, dass Punkte in der Ebene (beschrieben durch ihre Koordinaten bezüglich eines vorgegebenen Koordinatensystems) wieder zu Mengen, sogenannten Punktmengen, zusammengefasst werden können. Dies veranschaulicht das folgende Beispiel:

Wie aus Kapitel 5 bekannt ist, handelt es sich bei Geraden und Kreisen um Mengen von unendlich vielen Punkten. Deren Koordinaten mittels Punktmengen und geeigneten Gleichungen zu beschreiben, ist Inhalt der folgenden Abschnitte. Eine spezielle unendliche Punktmenge ist die Zusammenfassung aller Punkte in einem Koordinatensystem in der Ebene zu einer Menge. Für diese Menge gibt es eine besondere Bezeichnung: