6.4.5 Logarithmengesetze

Für das Rechnen mit Logarithmen gelten gewisse Gesetze, die sich aus den Potenzgesetzen herleiten lassen:

Info 6.4.11

Die folgenden Rechenregeln bezeichnet man als Logarithmengesetze:

\begin{matrix} \log (u \cdot v) & = & \log (u) + \log (v) & (u, v > 0), \\ \log (\frac{u}{v}) & = & \log (u) - \log (v) & (u, v > 0), \\ \log (u^{x}) & = & x \cdot \log (u) & (u > 0, x \in ℝ) . \end{matrix}

Diese Gesetze sind neben dem natürlichen auch für alle anderen Logarithmen richtig und eignen sich dazu, einen gegebenen Term so umzuformen, dass Potenzen alleine in den Logarithmen stehen:

Beispiel 6.4.12
Den Wert

ld (4^{5})

kann man beispielsweise mit Hilfe der Logarithmengesetze so ausrechnen:

ld (8^{5}) = \log_{2} (8^{5}) = 5 \cdot \log_{2} (8) = 5 \cdot \log_{2} (2^{3}) = 5 \cdot 3 = 15 .

Produkte in Logarithmen kann man in Summen außerhalb der Logarithmen zerlegen:

lg (100 \cdot \sqrt{10} \cdot \frac{1}{10}) = lg (100) + lg (\sqrt{10}) - lg (10) = 2 + \frac{1}{2} - 1 = \frac{3}{2} .

Wichtig bei der Zerlegungsregel

\log (u \cdot v) = \log (u) + \log (v)

ist, dass sie Produkte in Summen umwandelt. Der umgekehrte Weg ist beim Logarithmus nicht möglich, den Logarithmus einer Summe kann man nicht weiter umformen.

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