11.1.2 Rundung

Das Runden von Messergebnissen ist ein alltäglicher Vorgang.

Info 11.1.3

Für Rundungsvorgänge gibt es prinzipiell drei Möglichkeiten:

Das (Ab)Runden mit Hilfe der $floor$ -Funktion $⌊ x ⌋$ ,
das (Auf)Runden mit Hilfe der $ceil$ -Funktion $⌈ x ⌉$ ,
das Runden mit Hilfe der $round$ -Funktion, manchmal auch als $rnd$ -Funktion bezeichnet.

Die $floor$ -Funktion (engl. floor = Fußboden, Diele) ist definiert durch

floor : ℝ \to ℝ, x ⟼ floor (x) = ⌊ x ⌋ = max {k \in ℤ : k \leq x} .

Ist

x \in ℝ

eine reelle Zahl, so ist

floor (x) = ⌊ x ⌋

die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich x ist. Sie entsteht durch Abrundung von

x

. Schreibt man eine positive reelle Zahl

x

als Dezimalbruch, so ist

⌊ x ⌋

die ganze Zahl vor dem Dezimalkomma: Die Abrundung schneidet die Nachkommastellen ab. Beispielsweise ist

⌊ 3,142 ⌋ = 3

, aber

⌊ - 2,124 ⌋ = - 3

. Die Floor-Funktion ist eine Treppenfunktion mit Sprungstellen in allen Punkten

x \in ℤ

der Sprunghöhe

1

. Die Funktionswerte in den Sprungstellen liegen immer oben. Dies ist in dem folgenden Schaubild des Graphen angedeutet durch eingezeichnete Punkte:

Graph der

floor

-Funktion.

Gegeben sei eine reelle Zahl

a \geq 0

, dargestellt als Dezimalbruch

a = g_{n} g_{n - 1} \dots g_{1} g_{0} . a_{1} a_{2} a_{3} \dots

Will man mit Hilfe der

floor

-Funktion die Zahl

a

auf

r

Stellen (

r \in ℕ_{0}

) nach dem Komma runden, so bildet man

\tilde{a} = \frac{1}{10^{r}} \cdot ⌊ 10^{r} \cdot a ⌋ .

Dieser Rundungsvorgang ist die Rundung durch Abschneiden nach der r-ten Nachkommastelle. Beim Rundungsverfahren mit Hilfe der

floor

-Funktion wird also grundsätzlich abgerundet.

Beispiel 11.1.4

a_{1} = 2,3727

wird mit Hilfe der

floor

-Funktion gerundet auf 2 Nachkommastellen zu

{\tilde{a}}_{1} = \frac{1}{10^{2}} \cdot ⌊ 10^{2} \cdot 2,3727 ⌋ = \frac{1}{10^{2}} \cdot ⌊ 237,27 ⌋ = \frac{1}{10^{2}} \cdot 237 = = 2,37 .

oder einfach durch Abschneiden aller Nachkommastellen nach der zweiten Stelle (das geht aber nur, wenn die Zahl schon als Dezimalbruch vorliegt, was beispielsweise in einem Computerprogramm oft nicht der Fall ist). Die Zahl

a_{2} = \sqrt{2} = 1,414213562 \dots

wird mit Hilfe der

floor

-Funktion auf 4 Nachkommastellen zu

{\tilde{a}}_{2} = \frac{1}{10^{4}} \cdot ⌊ 10^{4} \cdot \sqrt{2} ⌋ = \frac{1}{10^{4}} \cdot ⌊ 14142,1 \dots ⌋ = \frac{1}{10^{4}} \cdot 14142 = 1,4142

gerundet. Die Kreiszahl

a_{3} = π = 3,141592654 \dots

wird mit Hilfe der

floor

-Funktion gerundet auf 2 Stellen nach dem Komma zu

{\tilde{a}}_{3} = \frac{1}{10^{2}} \cdot ⌊ 10^{2} \cdot π ⌋ = \frac{1}{10^{2}} \cdot ⌊ 314,159 \dots ⌋ = \frac{1}{10^{2}} \cdot 314 = 3,14 .

Das Rundungsverfahren mit Hilfe der

floor

-Funktion findet oft Anwendung bei der Bestimmung von Gesamtnoten in Zeugnissen („akademische Rundung“). Hat ein Studierender im Fach Mathematik z.B. die Einzelnoten

Fach	Note
Mathematik 1	$1,3$
Mathematik 2	$2,3$
Mathematik 3	$2,0$

so wird das arithmetische Mittel dieser drei Noten

\frac{1,3 + 2,3 + 2,0}{3} = \frac{5,6}{3} = 1,8 \overline{6} .

gebildet. Die Rundung mit Hilfe der

floor

-Funktion auf eine Nachkommastelle würde die Gesamtnote Mathematik

\tilde{a} = 1,8

ergeben. Die zur Bildung von Gesamtnoten verwendeten Rundungsverfahren müssen in den jeweiligen Prüfungsordnungen stets genau beschrieben sein. Das Gegenstück zur

floor

-Funktion ist die

ceil

-Funktion:

Info 11.1.5

Die $ceil$ -Funktion (engl. ceil = Zimmerdecke, Decke) ist definiert durch

ceil : ℝ \to ℝ, x ⟼ ceil (x) = ⌈ x ⌉ = min {k \in ℤ : k \geq x} .

Ist

x \in ℝ

eine reelle Zahl, so ist

ceil (x) = ⌈ x ⌉

die kleinste ganze Zahl, die größer oder gleich

x

ist. Die

ceil

-Funktion ist eine Treppenfunktion mit Sprungstellen in allen Punkten

x \in ℤ

der Sprunghöhe

1

. Die Funktionswerte in den Sprungstellen liegen immer unten. Dies ist in dem folgenden Schaubild des Graphen der

ceil

-Funktion angedeutet durch eingezeichnete Punkte:

Graph der

ceil

-Funktion.

Gegeben sei eine reelle Zahl

a \geq 0

, dargestellt als Dezimalbruch

a = g_{n} g_{n - 1} \dots g_{1} g_{0} . a_{1} a_{2} a_{3} \dots

Will man mit Hilfe der

ceil

-Funktion die Zahl

a

auf

r

Stellen (

r \in ℕ_{0}

) nach dem Komma runden, so bildet man

\hat{a} = \frac{1}{10^{r}} \cdot ⌈ 10^{r} \cdot a ⌉ .

Bei diesem Rundungsvorgang wird stets aufgerundet auf die nächsthöhere Dezimalstelle.

Beispiel 11.1.6
Die Zahl

a_{1} = 2,3727

wird mit Hilfe der

ceil

-Funktion gerundet auf

2

Nachkommastellen zu

{\hat{a}}_{1} = \frac{1}{10^{2}} \cdot ⌈ 10^{2} \cdot 2,3727 ⌉ = \frac{1}{10^{2}} \cdot ⌈ 237,27 ⌉ = \frac{1}{10^{2}} \cdot 238 = 2,38 .

Analog wird

a_{2} = \sqrt{2} = 1,414213562 \dots

mit Hilfe der

ceil

-Funktion auf

4

Nachkommastellen zu

{\hat{a}}_{2} = \frac{1}{10^{4}} \cdot ⌈ 10^{4} \cdot \sqrt{2} ⌉ = \frac{1}{10^{4}} \cdot ⌈ 14142,1 \dots ⌉ = \frac{1}{10^{4}} \cdot 14143 = 1,4143

gerundet. Die Kreiszahl

a_{3} = π = 3,141592654 \dots

wird mit Hilfe der

ceil

-Funktion gerundet auf

2

Stellen nach dem Komma zu

{\hat{a}}_{3} = \frac{1}{10^{2}} \cdot ⌈ 10^{2} \cdot π ⌉ = \frac{1}{10^{2}} \cdot ⌈ 314,15 \dots ⌉ = \frac{1}{10^{2}} \cdot 315 = 3,15 .

Rundungsverfahren mit Hilfe der

ceil

-Funktion findet man z.B. häufig bei Handwerkerrechnungen. Ein Handwerker wird meistens nach Arbeitsstunden bezahlt. Dauert eine Reparatur 50 Minuten (das sind

0,8 \overline{3}

Stunden im Dezimalsystem), so wird trotzdem aufgerundet und eine volle Arbeitsstunde berechnet. Spricht man umgangssprachlich von Runden, so ist meist die mathematische Rundung gemeint:

Info 11.1.7

Die $round$ -Funktion (oder mathematische Rundung) ist definiert durch

round : ℝ \to ℝ, x ⟼ round (x) = floor (x + \frac{1}{2}) = ⌊ x + \frac{1}{2} ⌋ .

Im Gegensatz zur Auf- und Abrundung beträgt die durch diese Rundung an der Zahl vorgenommene Veränderung höchstens

0,5

Die

round

-Funktion ist eine Treppenfunktion mit Sprungstellen in allen Punkten

x + \frac{1}{2}, x \in ℤ

, der Sprunghöhe

1

. Die Funktionswerte in den Sprungstellen liegen immer oben. Dies ist in dem folgenden Schaubild des Graphen der

round

-Funktion angedeutet durch eingezeichnete Punkte:

Graph der

round

-Funktion.

Gegeben sei eine reelle Zahl

a \geq 0

, dargestellt als Dezimalbruch

a = g_{n} g_{n - 1} \dots g_{1} g_{0} . a_{1} a_{2} a_{3} \dots

Will man mit Hilfe der Round-Funktion die Zahl

a

auf

r

(

r \in ℕ_{0}

) Stellen nach dem Komma runden, so bildet man

\overline{a} = \frac{1}{10^{r}} \cdot round (10^{r} \cdot a) = \frac{1}{10^{r}} \cdot ⌊ 10^{r} \cdot a + \frac{1}{2} ⌋ .

Dieser Rundungsvorgang entspricht dem üblichen sogenannten mathematischen Runden.

Beispiel 11.1.8
Die Zahl

a_{1} = 1,49

wird mit Hilfe der

round

-Funktion auf eine Nachkommestelle gerundet zu

\overline{a}_1 & = & \frac{1}{10}\cdot \mathsf{round}(10 \cdot 1,49) \; =\; \frac{1}{10}\cdot \left\lfloor{10\cdot 1,49 + 0,5}\right\rfloor\\ &=& \frac{1}{10}\cdot \left\lfloor{14,9+0,5}\right\rfloor \;=\; \frac{1}{10}\cdot \left\lfloor{ 15,4 }\right\rfloor \;=\; \frac{1}{10}\cdot 15 \;=\; 1,5\: .

Die Zahl

a_{2} = 1,52

wird mit Hilfe der

round

-Funktion auf eine Nachkommestelle gerundet zu

\overline{a}_{2}& = & \frac{1}{10}\cdot \mathsf{round}(10 \cdot 1,52)\; =\; \frac{1}{10}\cdot \left\lfloor{ 10\cdot 1,52 + 0,5 }\right\rfloor \\ & = & \frac{1}{10}\cdot \left\lfloor{ 15,2+0,5}\right\rfloor \;=\; \frac{1}{10}\cdot \left\lfloor{ 15,7 }\right\rfloor\; =\; \frac{1}{10}\cdot 15 \;=\; 1,5\: .

Die Zahl

a_{3} = 2,3727

wird mit Hilfe der

round

-Funktion gerundet auf

2

Nachkommastellen zu

\overline{a}_{3} & = & \frac{1}{10^{2}}\cdot \MTextSF{round}(10^{2}\cdot 2,3727)\; =\; \frac{1}{100}\cdot \left\lfloor{ 100\cdot 2,3727 + 0,5 }\right\rfloor \\ & = & \frac{1}{100}\cdot \left\lfloor{ 237,27+0,5}\right\rfloor\; =\; \frac{1}{100}\cdot \left\lfloor{ 237,77 }\right\rfloor \; =\; \frac{1}{100}\cdot 237\; =\; 2,37\: .

Die Zahl

a_{4} = \sqrt{2} = 1,414213562 \dots

wird mit Hilfe der

round

-Funktion gerundet auf

7

Nachkommastellen zu

\overline{a}_{3} & = & \frac{1}{10^{7}}\cdot \mathsf{round}(10^{7}\cdot \sqrt{2})\; =\; \frac{1}{10^{7}}\cdot \left\lfloor{ 10^{7}\cdot 1,414213562\ldots + 0,5 }\right\rfloor \\ & = & \frac{1}{10^{7}}\cdot \left\lfloor{ 14142135,62\ldots+0,5}\right\rfloor \;=\; \frac{1}{10^{7}}\cdot \left\lfloor{ 14142136,12\ldots }\right\rfloor \\ & = & \frac{1}{10^{7}}\cdot 14142136\; =\; 1,4142136\: .

Aufgabe 11.1.9
Berechnen Sie mit Hilfe der

round

-Funktion die Rundung von

π = 3,141592654 \dots

auf

4

Nachkommastellen:

\overline{π}

=

\overline{\pi} & = & \frac{1}{10^{4}}\cdot \mathsf{round}(10^{4}\cdot \pi)\; =\; \frac{1}{10^{4}}\cdot \left\lfloor{ 10^{4}\cdot 3,141592654\ldots + 0,5 }\right\rfloor \ \\ & = & \frac{1}{10^{4}}\cdot \left\lfloor{ 31415,92654\ldots+0,5}\right\rfloor \;=\; \frac{1}{10^{4}}\cdot \left\lfloor{ 31416,42654\ldots }\right\rfloor\ \\ & = & \frac{1}{10^{4}}\cdot 31416\; =\; 3,1416\: .

Aufgabe 11.1.10
Vorgegeben seien die Zahlen

a = \frac{47}{17} und b = 3,7861 .

Runden Sie die Zahlen $a$ und $b$ mit Hilfe der $floor$ -Funktion auf jeweils $2$ Nachkommastellen:
Die Rundungen ergeben $\tilde{a}$ $=$

sowie $\tilde{b}$ $=$

.
Runden Sie die Zahlen $a$ und $b$ mit Hilfe der $ceil$ -Funktion auf jeweils $2$ Nachkommastellen:
Die Rundungen ergeben $\hat{a}$ $=$

sowie $\hat{b}$ $=$

.
Runden Sie die Zahlen $a$ und $b$ mit Hilfe der $round$ -Funktion auf jeweils $2$ Nachkommastellen:
Die Rundungen ergeben $\overline{a}$ $=$

sowie $\overline{b}$ $=$

.

Wir formen den Bruch zunächst in eineb möglichst guteb Dezimalbruch um, indem wir sukzessive Division mit Rest durchführen und die Divisionsergebnisse als Stellen im Dezimalbruch einsetzen:

\frac{47}{17} = 2 + \frac{13}{17}

also haben wir eine

2

vor dem Dezimalkomma. Dann ist

2 + \frac{13}{17} = 2 + \frac{1}{10} \cdot \frac{130}{17} = 2 + \frac{1}{10} \cdot (7 + \frac{11}{17})

also erscheint eine

7

als erste Nachkommastelle. Zerlegt man die Brüche weiter, so erhält man

a = 2,764705 \dots

wobei für die gefragte Rundung nur drei Nachkommastellen benötigt werden. Die vollständige Rechnung mit der

floor

-Funktion ergibt

\tilde{a} = \frac{1}{10^{2}} \cdot ⌊ 10^{2} \cdot 2,764705 \dots ⌋ = \frac{1}{10^{2}} \cdot ⌊ 276,4705 \dots ⌋ = 2,76 .

Auf die Ergebnisse kommt man aber auch schneller durch einfaches Abrunden bzw. Abschneiden nach der

2

Nachkommastelle:

\tilde{a} = 2,76 und \tilde{b} = 3,78 .

Das ist in dieser Aufgabe aber nur erlaubt, weil

a

und

b

nicht negativ sind. Durch einfaches Aufrunden nach der

2

Nachkommastelle oder eine vollständige Rechnung erhalten wir für die

ceil

-Rundungen

\hat{a} = 2,77 und \hat{b} = 3,79 .

Die

round

-basierte Rundung erhält man entweder durch die vollständige Rechnung wie in den Beispielen oder durch Rundung auf diejenige Zahl mit zwei Stellen hinter dem Dezimalkomma, die den geringsten Abstand zu den ursprünglichen Zahlen besitzt:

\overline{a} = 2,76 und \overline{b} = 3,79 .

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