11.1.2 Rundung

Das Runden von Messergebnissen ist ein alltäglicher Vorgang.

Info 11.1.3  
 
Für Rundungsvorgänge gibt es prinzipiell drei Möglichkeiten:
  • Das (Ab)Runden mit Hilfe der floor -Funktion x,

  • das (Auf)Runden mit Hilfe der ceil -Funktion x,

  • das Runden mit Hilfe der round -Funktion, manchmal auch als rnd -Funktion bezeichnet.



Die floor -Funktion (engl. floor = Fußboden, Diele) ist definiert durch

floor :      ,    x     floor (x)  =  x  =  max{k:kx}.

Ist x eine reelle Zahl, so ist floor (x)=x die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich x ist. Sie entsteht durch Abrundung von x. Schreibt man eine positive reelle Zahl x als Dezimalbruch, so ist x die ganze Zahl vor dem Dezimalkomma: Die Abrundung schneidet die Nachkommastellen ab. Beispielsweise ist 3,142=3, aber -2,124=-3. Die Floor-Funktion ist eine Treppenfunktion mit Sprungstellen in allen Punkten x der Sprunghöhe 1. Die Funktionswerte in den Sprungstellen liegen immer oben. Dies ist in dem folgenden Schaubild des Graphen angedeutet durch eingezeichnete Punkte:

./floor_400_0.png
Graph der floor -Funktion.


Gegeben sei eine reelle Zahl a0, dargestellt als Dezimalbruch

a  =   gn gn-1 g1 g0 . a1 a2 a3

Will man mit Hilfe der floor -Funktion die Zahl a auf r Stellen ( r0 ) nach dem Komma runden, so bildet man

a ~   =   1 10r · 10r ·a.

Dieser Rundungsvorgang ist die Rundung durch Abschneiden nach der r-ten Nachkommastelle. Beim Rundungsverfahren mit Hilfe der floor -Funktion wird also grundsätzlich abgerundet.

Beispiel 11.1.4  
a1 =2,3727 wird mit Hilfe der floor -Funktion gerundet auf 2 Nachkommastellen zu

a ~ 1   =   1 102 · 102 ·2,3727  =   1 102 ·237,27  =   1 102 ·237  =  =2,37.

oder einfach durch Abschneiden aller Nachkommastellen nach der zweiten Stelle (das geht aber nur, wenn die Zahl schon als Dezimalbruch vorliegt, was beispielsweise in einem Computerprogramm oft nicht der Fall ist). Die Zahl a2 =2=1,414213562 wird mit Hilfe der floor -Funktion auf 4 Nachkommastellen zu

a ~ 2   =   1 104 · 104 ·2  =   1 104 ·14142,1  =   1 104 ·14142  =  1,4142

gerundet. Die Kreiszahl

a3   =  π  =  3,141592654

wird mit Hilfe der floor -Funktion gerundet auf 2 Stellen nach dem Komma zu

a ~ 3   =   1 102 · 102 ·π  =   1 102 ·314,159  =   1 102 ·314  =  3,14.



Das Rundungsverfahren mit Hilfe der floor -Funktion findet oft Anwendung bei der Bestimmung von Gesamtnoten in Zeugnissen („akademische Rundung“). Hat ein Studierender im Fach Mathematik z.B. die Einzelnoten

Fach Note
Mathematik 1 1,3
Mathematik 2 2,3
Mathematik 3 2,0


so wird das arithmetische Mittel dieser drei Noten

1,3+2,3+2,0 3   =   5,6 3   =  1,8 6 .

gebildet. Die Rundung mit Hilfe der floor -Funktion auf eine Nachkommastelle würde die Gesamtnote Mathematik a ~ =1,8 ergeben. Die zur Bildung von Gesamtnoten verwendeten Rundungsverfahren müssen in den jeweiligen Prüfungsordnungen stets genau beschrieben sein. Das Gegenstück zur floor -Funktion ist die ceil -Funktion:

Info 11.1.5  
 
Die ceil -Funktion (engl. ceil = Zimmerdecke, Decke) ist definiert durch

ceil :      ,    x     ceil (x)  =  x  =  min{k:kx}.



Ist x eine reelle Zahl, so ist ceil (x)=x die kleinste ganze Zahl, die größer oder gleich x ist. Die ceil -Funktion ist eine Treppenfunktion mit Sprungstellen in allen Punkten x der Sprunghöhe 1. Die Funktionswerte in den Sprungstellen liegen immer unten. Dies ist in dem folgenden Schaubild des Graphen der ceil -Funktion angedeutet durch eingezeichnete Punkte:

./ceil_400_0.png
Graph der ceil -Funktion.


Gegeben sei eine reelle Zahl a0, dargestellt als Dezimalbruch

a  =   gn gn-1 g1 g0 . a1 a2 a3

Will man mit Hilfe der ceil -Funktion die Zahl a auf r Stellen ( r0 ) nach dem Komma runden, so bildet man

a ^   =   1 10r · 10r ·a.

Bei diesem Rundungsvorgang wird stets aufgerundet auf die nächsthöhere Dezimalstelle.

Beispiel 11.1.6  
Die Zahl a1 =2,3727 wird mit Hilfe der ceil -Funktion gerundet auf 2 Nachkommastellen zu

a ^ 1   =   1 102 · 102 ·2,3727  =   1 102 ·237,27  =   1 102 ·238  =  2,38.

Analog wird a2 =2=1,414213562 mit Hilfe der ceil -Funktion auf 4 Nachkommastellen zu

a ^ 2   =   1 104 · 104 ·2  =   1 104 ·14142,1  =   1 104 ·14143  =  1,4143

gerundet. Die Kreiszahl a3 =π=3,141592654 wird mit Hilfe der ceil -Funktion gerundet auf 2 Stellen nach dem Komma zu

a ^ 3   =   1 102 · 102 ·π  =   1 102 ·314,15  =   1 102 ·315  =  3,15.



Rundungsverfahren mit Hilfe der ceil -Funktion findet man z.B. häufig bei Handwerkerrechnungen. Ein Handwerker wird meistens nach Arbeitsstunden bezahlt. Dauert eine Reparatur 50 Minuten (das sind 0,8 3 Stunden im Dezimalsystem), so wird trotzdem aufgerundet und eine volle Arbeitsstunde berechnet. Spricht man umgangssprachlich von Runden, so ist meist die mathematische Rundung gemeint:

Info 11.1.7  
 
Die round -Funktion (oder mathematische Rundung) ist definiert durch

round :      ,    x     round (x)  =   floor (x+ 1 2 )  =  x+ 1 2 .

Im Gegensatz zur Auf- und Abrundung beträgt die durch diese Rundung an der Zahl vorgenommene Veränderung höchstens 0,5.


Die round -Funktion ist eine Treppenfunktion mit Sprungstellen in allen Punkten x+ 1 2 ,  x, der Sprunghöhe 1. Die Funktionswerte in den Sprungstellen liegen immer oben. Dies ist in dem folgenden Schaubild des Graphen der round -Funktion angedeutet durch eingezeichnete Punkte:

./round_400_0.png
Graph der round -Funktion.


Gegeben sei eine reelle Zahl a0, dargestellt als Dezimalbruch

a  =   gn gn-1 g1 g0 . a1 a2 a3

Will man mit Hilfe der Round-Funktion die Zahl a auf r ( r0 ) Stellen nach dem Komma runden, so bildet man

a   =   1 10r · round ( 10r ·a)  =   1 10r · 10r ·a+ 1 2 .

Dieser Rundungsvorgang entspricht dem üblichen sogenannten mathematischen Runden.

Beispiel 11.1.8  
Die Zahl a1 =1,49 wird mit Hilfe der round -Funktion auf eine Nachkommestelle gerundet zu

a 1 = 1 10 ·round (10·1,49)  =   1 10 ·10·1,49+0,5 = 1 10 ·14,9+0,5  =   1 10 ·15,4  =   1 10 ·15  =  1,5.

Die Zahl a2 =1,52 wird mit Hilfe der round -Funktion auf eine Nachkommestelle gerundet zu

a 2 = 1 10 ·round (10·1,52)  =   1 10 ·10·1,52+0,5 = 1 10 ·15,2+0,5  =   1 10 ·15,7  =   1 10 ·15  =  1,5.

Die Zahl a3 =2,3727 wird mit Hilfe der round -Funktion gerundet auf 2 Nachkommastellen zu

a 3 = 1 102 · round ( 102 ·2,3727)  =   1 100 ·100·2,3727+0,5 = 1 100 ·237,27+0,5  =   1 100 ·237,77  =   1 100 ·237  =  2,37.

Die Zahl a4 =2=1,414213562 wird mit Hilfe der round -Funktion gerundet auf 7 Nachkommastellen zu

a 3 = 1 107 ·round ( 107 ·2)  =   1 107 · 107 ·1,414213562+0,5 = 1 107 ·14142135,62+0,5  =   1 107 ·14142136,12 = 1 107 ·14142136  =  1,4142136.



Aufgabe 11.1.9  
Berechnen Sie mit Hilfe der round -Funktion die Rundung von π=3,141592654 auf 4 Nachkommastellen: π = .  
 


Aufgabe 11.1.10  
Vorgegeben seien die Zahlen

a  =   47 17      und     b  =  3,7861.

  1. Runden Sie die Zahlen a und b mit Hilfe der floor -Funktion auf jeweils 2 Nachkommastellen:
    Die Rundungen ergeben a ~ = sowie b ~ = .

  2. Runden Sie die Zahlen a und b mit Hilfe der ceil -Funktion auf jeweils 2 Nachkommastellen:
    Die Rundungen ergeben a ^ = sowie b ^ = .

  3. Runden Sie die Zahlen a und b mit Hilfe der round -Funktion auf jeweils 2 Nachkommastellen:
    Die Rundungen ergeben a = sowie b = .