2. Grundlagen aus der Stochastik (Optional)
  3. Statistische Maßzahlen
  4. Einführung

11.3.1 Einführung



Vorgegeben sei eine Stichprobe vom Umfang n zu einem quantitativen Merkmal X. Die Urliste sei

x  =  ( x1 , x2 ,…, xn ) .



Info 11.3.1  
 
Das arithmetische Mittel x ‾ , auch Stichprobenmittel genannt, von x1 , x2 ,…, xn ist definiert durch

x ‾   =   1 n · ∑k=1 n xk   =   x1 + x2 +…+ xn n  .



Physikalisch beschreibt x ‾ den Schwerpunkt der durch gleiche Massen in x1 , x2 ,…, xn gegebenen Massenverteilung auf der als gewichtlos angenommenen Zahlengeraden.

Beispiel 11.3.2  
Vorgelegt sei die folgende Urliste zu einer Stichprobe vom Umfang n=20:

10 11 9 7 9
11 22 12 13 9
11 9 10 12 13
12 11 10 10 12


Das untersuchte Merkmal könnte z.B. die Studiendauer (in Semestern) von 20 Studierenden im Fach Mathematik am KIT sein. Aufsummieren der Werte ergibt

∑k=1 20 xk   =  223 ,

so dass sich für das arithmetische Mittel in diesem Beispiel



x ‾   =   1 20 · ∑k=1 20 xk   =   223 20   =  11,15

ergibt.


Das arithmetische Mittel reagiert ziemlich stark auf sogenannte Ausreißerdaten. Dies bedeutet, dass ein stark von den übrigen Daten abweichender Messwert erhebliche Auswirkungen auf den arithmetischen Mittelwert haben kann.

Beispiel 11.3.3  
Betrachtet man wieder die obige Urliste zu einer Stichprobe vom Umfang n=20 und lässt den Datenwert x7 =22 weg, so erhält man als arithmetisches Mittel der verbleibenden 19 Datenwerte

1 19 · ∑k=1,k≠7 n xk   =   201 19   ≈  10,58 .



Wird ein multiplikativer bzw. relativer Zusammenhang zwischen den Werten einer Urliste vermutet (beispielsweise bei Wachstumsprozessen oder Verzinsungen), so ist das arithmetische (additive) Mittel keine geeignete Maßzahl. Für solche Datenwerte verwendet man das geometrische Mittel:

Info 11.3.4  
 
Für Daten x1 >0,   x2 >0,  …, xn >0 ist das geometrische Mittel x ‾ G von x1 , x2 ,…, xn durch

x ‾ G   =   x1 · x2 ·…· xn n

definiert.


Beispiel 11.3.5  
Es wird eine Population beobachtet, die zum Zeitpunkt t0 aus 50 Tieren besteht. Alle zwei Jahre wird die Zahl der Tiere neu beobachtet.

Jahr Anzahl der Tiere Wachstumsrate
t0 50
t0 +2 100 verdoppelt ( x1 =2)
t0 +4 400 vervierfacht ( x2 =4)
t0 +6 1200 verdreifacht ( x3 =3)


Die (geometrische) mittlere Wachtumsrate beträgt dann

x ‾ G   =  2·4·33  =  243  ≈  2,8845 .



An diesem Beispiel wird deutlich, dass die Anwendung des arithmetischen Mittels bei Wachstumsvorgängen zu falschen Ergebnissen führt. Es gilt

x ‾   =   1 3 ·(2+4+3)  =   9 3 =  3 ,

aber eine theoretische Verdreifachung der Population alle zwei Jahre würde bedeuten, dass sie nach sechs Jahren 1350 Tiere umfassen müsste, was ersichtlich falsch ist. Bei einer durchschnittlichen Wachstumsrate von 2,8845 erhält man das richtige Ergebnis: 50·(2,8845 )3 ≈1200.

Aufgabe 11.3.6  
Eine Kapitalanlage verzeichne die folgenden Wachstumsraten pro Jahr:
Jahr 2011 2012 2013 2014 2015
Wachstumsrate 0,5% 1,1% 0,8% 1,2% 0,7%
Bestimmen Sie die mittlere Wachstumsrate über die fünf Jahre in Prozent: x ‾ G  =  % mathematisch gerundet auf zwei Stellen hinter dem Komma.  
 
Bei dieser Aufgabe dürfen Sie einen Taschenrechner für die Berechnungen verwenden.