4.2.3 Die Additionsmethode

Es soll noch ein weiteres, drittes, Verfahren zur rechnerischen Lösung von Linearen Gleichungssystemen vorgestellt werden, das sein eigentliches Potential aber erst bei größeren Systemen, d.h. vielen linearen Gleichungen in vielen Unbekannten entwickeln wird, da es sich sehr gut systematisieren lässt. Hier soll es um die prinzipielle Vorgehensweise gehen. Zu Beginn wird ein Beispiel betrachtet: Auch bei diesem Verfahren liegt das Vorgehen nicht eindeutig fest: So hätte man z.B. auch Gleichung $(1)$ mit $3$ und Gleichung $(2)$ mit $(-2)$ durchmultiplizieren können,

${\displaystyle \begin{array}{ccccccccc}\hfill (2x+y)·3& \hfill =\hfill & 9·3\hfill & \hfill \iff \hfill & \hfill 6x+3y& \hfill =\hfill & 27\hfill & \hfill \hfill & :\hspace{0.5em}\text{Gleichung}\hspace{0.5em}(1\text{'}\text{'})\hspace{0.5em},\hfill \\ \hfill (3x-11y)·(-2)& \hfill =\hfill & 1·(-2)\hfill & \hfill \iff \hfill & \hfill -6x+22y& \hfill =\hfill & -2\hfill & \hfill \hfill & :\hspace{0.5em}\text{Gleichung}\hspace{0.5em}(2\text{'}\text{'})\hspace{0.5em},\hfill \end{array}}$

um bei der anschließenden Addition der Gleichungen $(1\text{'}\text{'})$ und $(2\text{'}\text{'})$ die Variable $x$ zu eliminieren:

${\displaystyle 6x+3y-6x+22y=27-2\iff 25y=25\iff y=1\hspace{0.5em}.}$

Das Ergebnis für $y$ hätte man dann z.B. in Gleichung $(2)$ einsetzen können, um $x$ zu bestimmen:

${\displaystyle 3x-11·1=1\iff 3x=12\iff x=4\hspace{0.5em}.}$