2. Elementare Funktionen
  3. Exponentialfunktion und Logarithmus
  4. Eulersche Funktion

6.4.3 Eulersche Funktion

Es gibt eine ganz besondere Exponentialfunktion, manchmal auch als die Exponentialfunktion bezeichnet, um die wir uns jetzt kümmern wollen. In der Tat lassen sich, wie wir sehen werden, alle anderen Exponentialfunktionen auf diese besondere Exponentialfunktion zurückführen. Sie besitzt als Basis die eulersche Zahl e. Ihr (ungefährer) Wert beträgt

e=2,718281828459045235… .



Betrachten wir also - zunächst ohne irgendwelche zusätzlichen Parameter - den Graphen der Exponentialfunktion,

g:ℝ→(0;∞) x⟼g(x)=ex  ,

wegen der Basis e auch e-Funktion oder natürliche Exponentialfunktion genannt:
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Abbildung 6.4.3: Skizze  (C)

Wenig überraschend zeigt auch die e-Funktion das bereits in 6.4.2 diskutierte Verhalten der Exponentialfunktionen x↦ ax (a>1); schließlich haben wir für die Basis ja auch nur einen speziellen Wert, nämlich a=e, gewählt. Insbesondere halten wir nochmals fest, dass die e-Funktion streng monoton wachsend ist, sich für große negative x-Werte an die negative x-Achse anschmiegt und für x=0 den Wert 1 annimmt.
Aufgabe 6.4.4  
Wie sieht der Graph der Funktion h:ℝ→(0;∞), x↦h(x)=e-x aus, und welche generellen Eigenschaften besitzt diese Funktion?


Eingangs dieses Unterabschnitts haben wir behauptet, dass sich die weiter oben besprochenen Exponentialfunktionen auf die e-Funktion zurückführen lassen. Dies gelingt mit Hilfe der Identität

ax =ex·ln(a)  ,

die für beliebige reelle a>0 und beliebige reelle x gilt. Dabei bezeichnet ln den natürlichen Logarithmus, dessen Funktionsgestalt uns im folgenden Abschnitt 6.4.4 noch ausgiebig beschäftigen wird.
Aufgabe 6.4.5  
Begründen Sie die Identität ax =ex·ln(a) .


Allgemeine e-Funktionen enthalten die bereits in Unterabschnitt 6.4.2 eingeführten Parameter f0 und λ; ihre funktionale Gestalt sieht also folgendermaßen aus:

f:ℝ→(0;∞) x⟼f(x)= f0 ·eλx  .

Wiederum repräsentiert f0 die Möglichkeit von 1 verschiedener Start- oder Anfangswerte, und der Faktor λ im Exponenten gestattet unterschiedlich starke (positive oder negative) Wachstumsraten. Wir wollen dies abschließend an einem Beispiel verdeutlichen:
Beispiel 6.4.6  
Bei einer Versuchsreihe mit radioaktiven Jodatomen ( 131 I) ergeben sich im Mittel folgende Daten:
Anzahl Jodatome 10000 5000 2500 1250 usw.
Anzahl Tage seit Beginn 0 8,0416,0824,12usw.
Mit anderen Worten: Alle 8,04 Tage halbiert sich die Anzahl der Jodatome aufgrund radioaktiven Zerfalls; man spricht daher in diesem Zusammenhang davon, dass die Halbwertszeit h von Jod- 131 h=8,04 Tage beträgt.

Der radioaktive Zerfall folgt einem Exponentialgesetz:

N(t)= N0 ·eλt  .

Unsere Exponentialfunktion heißt hier N; sie gibt die Anzahl der noch vorhandenen Jodatome an. N0 steht dementsprechend für die Anzahl der Jodatome zu Beginn, also N0 =10000. Die Veränderliche im vorliegenden Beispiel ist die Zeit t (gemessen in Tagen). Von dem Parameter λ erwarten wir, dass er negativ ist, da es um die Beschreibung eines Zerfallsprozesses, also eines Prozesses mit negativem Wachstum, geht. Wir wollen λ in der Folge aus den Messdaten bestimmen:

Nach h=8,04 Tagen sind nur noch 5000 Jodatome vorhanden, d.h. N(t=8,04)=5000= N0 2 . Verwenden wir das Exponentialgesetz für den radioaktiven Zerfall, so erhalten wir:

N0 2 = N0 ·eλ·h  .

Wir können N0 auf beiden Seiten der Gleichung kürzen und anschließend logarithmieren (siehe Abschnitt 6.4.4):

ln( 1 2 )=ln(eλ·h ) .

Die linke Seite formen wir gemäß den Rechenregeln für den Logarithmus um (siehe Abschnitt 6.4.4), ln(1/2)=ln(1)-ln(2)=0-ln(2)=-ln(2). Für die rechte Seite beachten wir, dass Logarithmieren die Umkehrung zum Exponentieren darstellt, ln(eλ·h )=λ·h; damit folgt:

-ln(2)=λ·h ⇔λ=- ln(2) h  .

Mit h=8,04 Tage für Jod- 131 folgt für den Parameter λ im vorliegenden Fall

λ≈-0,0862   1 Tage  .



Andere radioaktive Substanzen besitzen andere Halbwertszeiten - Plutonium-239 z.B. weist eine Halbwertszeit von ungefähr 24000 Jahren auf - und führen folglich auf andere Werte für den Parameter λ im Exponentialgesetz für den radioaktiven Zerfall.