2. Grundlagen
  3. Umgang mit Physikalischen Größen
  4. Größen und Einheiten (!)

3.1.1 Physikalische Größen und ihre Einheiten





 

Basiswissen „Physikalische Größen“


Unter einer Physikalischen Größe versteht man eine messbare Eigenschaft eines physikalischen Objekts. Sie setzt sich zusammen aus einem Zahlenwert und einer Einheit.
Das bedeutet, dass bei der Angabe einer physikalischen Größe immer der Zahlenwert und die zugehörige Einheit angegeben werden muss.
Beispiel 3.1.1  
Ein Tisch ist 2 m lang. Der Zahlenwert der Länge L ist zwei, also {L}=2, und die Einheit der Länge L ist das Meter (abgekürzt m), also [L]= m. Mit Hilfe der geschweiften und der eckigen Klammer unterscheidet man, ob es sich um den Zahlenwert oder die Einheit der betrachteten Größe handelt.
In Rechnungen müssen bei physikalischen Größen die Rechenregeln richtig angewendet werden. Wird eine physikalische Größe quadriert, muss neben dem Zahlenwert auch die Einheit quadriert werden. Durch den Wechsel von einer Größeneinheit auf eine andere wird der absolute Wert der Größe nicht verändert.
Beispiel 3.1.2  
Die Länge 2 m soll in cm, mm oder km umgerechnet werden.
Dazu muss man sich überlegen, wieviele cm oder mm einem Meter entsprechen. Mit 1 m=100 cm=1000 mm findet man leicht heraus, dass 2 m=200 cm=2000 mm sind.
Will man m in km umrechnen, ist die Vorgehensweise analog. Man überlegt sich die Beziehung zwischen den beiden Größen: 1000 m=1 km. Da aber m in km umgerechnet werden soll, muss jetzt durch den Faktor 1000 geteilt werden:
 
1 m= 1 1000  km   ⟺   2 m= 2 1000  km ​ =0,002 km .
 
Beispiel 3.1.3  
Ein Fußballplatz hat zwei Seiten. Die kurze Seite ist a=90 m lang, während die lange Seite b=0,12 km lang ist.
Wenn jetzt die Fläche A berechnet werden soll, ist es unerlässlich, beide Werte entweder in m oder km anzugeben:
 
A=a·b ​ =0,09 km·0,12 km ​ =0,0108  km2
 
oder
 
A=a·b ​ =90 m·120 m ​ =10800  m2  .
 
Beide Ergebnisse sind richtig und durch Umschreiben der Einheiten ist es einfach, von einer Darstellung zur anderen zu gelangen:
 
A=0,0108  km2 ​ =0,0108  (1000 m)2 ​ =0,0108  (1000)2   (m)2 ​ =0,0108·1000·1000  m2 ​ =10 800  m2  .
 
Oder umgekehrt:
 
10 800  m2 ​ =10 800  (0,001 km)2 ​ =10 800  (0,001)2   (km)2 ​ =10 800·0,001·0,001  km2 ​ =0,0108  km2  .
 
Für Ingenieure und Naturwissenschaftler ist es wichtig, die Umrechnung zwischen verschiedenen Größenordnungen zu beherrschen. Um sehr große oder sehr kleine Werte anzugeben, werden dezimale Vielfache oder dezimale Teile verwendet. Zum Beispiel bedeutet Kilo 1000 und wird mit k abgekürzt, wie in km oder kJ. Die Symbole der Präfixe sind international einheitlich. In der folgenden Tabelle sind einige Präfixe mit Beispielen aufgeführt:


Präfix Dezimaldarstellung Potenzschreibweise Beispiel
M 1 000 000 106  MB – Megabyte
k 1000 103  km – Kilometer
h 100 102  hl – Hektoliter
c 0,01 10-2  cm – Zentimeter
m 0,001 10-3  mm – Millimeter
µ 0,000 001 10-6 µm – Mikrometer


In Rechnungen werden die Einheiten üblicherweise in den SI-Einheiten angegeben. Dabei handelt es sich um Einheiten, die sich auf 7 sogenannte zurückführen lassen. Bei großen oder kleinen Zahlen können dann die Präfixe einfach zusammengefasst werden.

Bei genauer Betrachtung der SI-Basiseinheiten fällt auf, dass die Einheit der Masse mit Präfix definiert ist. Das bedeutet bei Rechnungen, dass bei der Masse im Allgemeinen dieser Präfix nicht mit anderen Präfixen verrechnet wird.

Beispiel 3.1.4  

 
F= 1000 kg·10 km (100 s)2 ​ = 1000 kg·10 000 m 10 000  s2 ​ = 1000 kg·m s2 ​ =1000 N .
 


Es gibt jedoch noch weitere Größen, die mit Präfix definiert sind und Verwendung finden:

Größe Wert Symbol
Tonne 1000 kg 1 t
Ångström 10-10  m Å


 

Basiswissen „Naturkonstanten“


In der Physik werden immer wieder sogenannte Naturkonstanten verwendet. Darunter versteht man Größen, die sich nicht verändern, weder räumlich noch zeitlich. Einige Beispiele für Naturkonstanten finden Sie in der folgenden Tabelle:


Physikalische Konstante in SI-Einheiten übliche Näherungen
Atomare Masseneinheit u=1,660 539 040· 10-27  kg u=1,66· 10-27  kg
Gravitationskonstante G=6,674 08· 10-11 m3 kg· s2 G=6,67· 10-11 m3 kg· s2
Ruhemasse des Elektrons m e =9,109 383 56· 10-31  kg m e =9,11· 10-31  kg
Ruhemasse des Neutrons m n =1,674 927 471· 10-27  kg m n =1,67· 10-27  kg
Ruhemasse des Protons m p =1,672 621 898· 10-27  kg m p =1,67· 10-27  kg
Ladung des Elektrons e=-1,602 176 620 8· 10-19  C e=-1,60· 10-19  C
Ladung des Neutrons 0 C 0 C
Ladung des Protons e=+1,602 176 620 8· 10-19  C e=+1,60· 10-19  C


Diese Werte wurden am National Institute of Standards and Technologies veröffentlicht. Bei Bedarf können auf dieser Seite die aktuellen Werte für Konstanten abgefragt werden.
Konstanten haben die Eigenschaft, dass sich ihr Wert nicht ändert. So trägt ein Elektron auf der Erde die gleiche Ladung wie auf dem Mond. Die Masse eines Elektrons ist auf der Erde und auch auf anderen Planeten immer gleich.
Die Erdbeschleunigung wird im Allgemeinen ebenfalls als eine Konstante betrachtet. Allerdings ist die Erdbeschleunigung – streng genommen – vom Ort, an dem man sich befindet, abhängig. Am Nordpol beträgt die Erdbeschleunigung 9,832 m/ s2 und am Äquator 9,780 m/ s2 . In unserer Region ist obige Näherung in vielen Fällen ausreichend.
 
Aufgrund der Abhängigkeit des Urmeters oder des Urkilogramms von äußeren Einflüssen, wie zum Beispiel der Temperatur oder Beschädigung, wurden für diese Größen neue Definitionen gesucht. Da Naturkonstanten sich nicht verändern, war bald die Idee geboren, die sieben SI-Basiseinheiten durch geeignete Naturkonstanten auszudrücken. Die Basis für diese neuen Definitionen bilden die folgenden sieben Naturkonstanten:


Größe Naturkonstante
Δν( 133 Cs)=9 192 631 770  1 s Frequenz des Hyperfeinstrukturüberganges des Grundzustandes im 133 Cs-Atom
c0 =299 792 458  m s Lichtgeschwindigkeit im Vakuum
h=6,626 070 040· 10-34  J s Planck-Konstante oder Plancksches Wirkungsquantum
e=+1,602 176 620 8· 10-19  C Elementarladung
k B =1,380 648 52· 10-23   J K Boltzmann-Konstante
N A =6,022 140 857· 1023   1 mol Avogadro-Konstante
1 K cd =683  lm W Photometrisches Strahlungsäquivalent K cd einer monochromatischen Strahlung der Frequenz 540· 1012  Hz


Mit diesen Konstanten gilt dann zum Beispiel für die Sekunde:

1 s= 9 192 631 770 Δν( 133 Cs)

oder für das Meter:

1 m= c0 299 792 458  s-1  .


Das ist nicht so anschaulich wie die Definition über den mittleren Sonnentag oder das Urmeter. Eine Erklärung, wie diese Größen definiert sind, wird im Allgemeinen nicht mehr so leicht fallen. Allerdings ändert sich an den Größen selber nichts. Diese neuen Regelungen sind am 16. November 2018 bei einer Weltkonferenz verbindlich beschlossen worden. Nach einer Übergangszeit von 7 Monaten sind ab Mai 2019 nicht mehr die 7 Basiseinheiten das Fundament allen Messens, sondern die oben genannten Naturkonstanten.
Für die anderen Basiseinheiten gelten ebenfalls international anerkannten Definitionen, die unter den folgenden Links nachgelesen werden können:
PTB-Mitteilungen: Das Internationale Einheitensystem (SI)
oder unter
Bureau International des Poids et Mesures (englisch)
oder
Bureau International des Poids et Mesures (französisch)

Aufgabe 3.1.5  
Wieviele Sekunden sind 2 Tage, 3 Stunden, 37 Minuten und 3 Sekunden?

t  = 




Aufgabe 3.1.6  
Wie viele   mm2 sind 0,1  m2 ?

A  = 
  mm2



Aufgabe 3.1.7  
Ein Fass hat ein Fassungsvermögen von 748 l. Rechnen Sie das Volumen V in m3 um.

V  = 
m3



Aufgabe 3.1.8  
Der Äthiopier Haile Gebrselassie lief am 28.09.2008 beim Berlin-Marathon die Strecke von 42,195 km in einer Zeit von 2 Stunden, 3 Minuten und 59 Sekunden.
Wie groß war seine durchschnittliche Geschwindigkeit v in m/s ?

v  = 
m s



Aufgabe 3.1.9  
Geben Sie den Umrechnungsfaktor für die Umrechnung von m/s in km/h an:

1  m s = 1 3,6   km h
1  m s = 1 60   km h
1  m s =0,06  km h
1  m s =3,6  km h



Video 1: Definition der physikalischen Größe (C) .



 

Physikalische Größen (!)


Die Physik ist eine Wissenschaft, in der die Eigenschaften von Objekten (Körper genannt), von Stoffen und Materialien und auch die räumliche Verteilung solcher Eigenschaften (physikalische Felder) untersucht werden. Eine Eigenschaft, die messbar ist oder auf andere Weise quantitativ erfasst werden kann, bezeichnet man als physikalische Größe. Ein Messwert wird immer als Vielfaches einer vorher festgelegten physikalischen Einheit angegeben. Eine physikalische Größe besteht also aus dem Produkt von Zahlenwert und Einheit:

Größe   =   Zahlenwert · Einheit  .



Beispiel 3.1.10  
Ein Physikprofessor ist 1,84 m groß. Er ist demnach 1,84-mal so groß wie die physikalische Einheit der Länge, das Meter. Die Körpergröße wird also angegeben als das Produkt aus dem Zahlenwert 1,84 und der Längeneinheit m.


Video 2: Physikalische Variablen (C) .



 

Physikalische Variablen (!)


Nicht immer arbeitet die Physik mit konkreten Zahlenangaben. Möglicherweise ist der Zahlenwert einer physikalischen Größe gar nicht bekannt, oder es wird eine allgemein gültige mathematische Formel für einen physikalischen Zusammenhang gesucht. In solchen Fällen ist es sinnvoll, als Platzhalter für die physikalische Größe eine Variable einzuführen, die mit Hilfe eines Symbols dargestellt wird. Die Symbole können frei gewählt werden. Im Allgemeinen haben sich jedoch ganz bestimmte Buchstaben oder Zeichen für gängige physikalische Variablen durchgesetzt (z.B. t für die Zeit). Hierbei müssen die Symbole der Variablen immer gut von den Symbolen der physikalischen Einheiten unterschieden werden. In der Regel werden in gedruckten Texten die Variablenzeichen kursiv ( z) und die Einheitenzeichen regulär ( z), also nicht kursiv, gesetzt.

Im Unterschied zu den Variablenzeichen kann man die Einheitenzeichen nicht frei wählen. Sie sind im SI-Einheitensystem (siehe unten) eindeutig festgelegt. Der Zahlenwert einer physikalischen Variablen V wird mit {V}, die Einheit mit [V] angegeben.

Beispiel 3.1.11  
Die Körpergröße h des Professors beträgt 1,84 m:

h = 1,84 m {h} = 1,84 [h] = m



 

Physikalische Gleichungen (!)


Wie in der Mathematik werden in der Physik häufig Gleichungen verwendet. Bei Zahlenwerten in Gleichungen ist allerdings etwas Mitdenken gefragt. Zunächst können Gleichungen in Definitionen vorkommen, etwa für den Impuls p eines „Massenpunktes“ in der klassischen Mechanik über seine Masse m und Geschwindigkeit v in einer Dimension:

p=m·v .

Gleichungen werden ebenfalls in Umrechnungen verwendet, so weiter unten in

1 kWh=3,6 MJ .

Bei dem Beispiel

1  km h =0,278  m s

steht das Gleichheitszeichen allerdings nicht für eine exakte Gleichheit, da die Dezimalzahl auf drei gültige Stellen gerundet wurde. Das Thema Stellenangaben wird auf Seite 3.1.3 näher besprochen. Ebenso kann die Gleichung oben

h=1,84 m

nicht als exakte Angabe der Körpergröße verstanden werden, da die Körpergröße nicht beliebig genau bestimmt werden kann. Auch Naturkonstanten wie die Gravitationskonstante sind nicht exakt bekannt. Für die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum wurde wiederum ein Wert im Rahmen des SI-Einheitensystems als exakt definiert.

Insbesondere bei Rechenaufgaben mit Zahlenwerten bietet sich an, das Gleichheitszeichen zu verwenden, wenn die Ergebnis im Rahmen der Annahmen und Angaben stimmen. So ist für die Gewichtskraft auf eine Masse von 1,00 kg in unseren Breiten die Ergebnisangabe

F=9,81 N

vernünftig. Wird mit Absicht auf weniger Stellen gerundet, kann dies durch Verwendung des Ungefährzeichens verdeutlicht werden:

F≈10 N .



Video 3: Einheiten. (C) .



 

SI-Basiseinheiten (!)


Das Internationale Einheitensystem (Système International d'Unités, kurz SI) ist auf sieben Basiseinheiten aufgebaut. Diese SI-Basiseinheiten sind:  

Physikalische Größe      Variablenzeichen      Physikalische Einheit      Einheitenzeichen       
Strecke s Meter m  
Zeit t Sekunde s  
Masse m Kilogramm kg  
Stromstärke I Ampere A  
Temperatur T Kelvin K  
Lichtstärke I v Candela cd  
Stoffmenge n Mol mol


 

Video 4: Abgeleitete Einheiten (C) .

 


 

Abgeleitete Einheiten (!)


Alle weiteren physikalischen Einheiten können aus diesen Basiseinheiten abgeleitet werden. Hierzu werden die Basiseinheiten passend zur betrachteten physikalischen Größe mathematisch verknüpft. Die abgeleitete Einheit ist also letztendlich ein Produkt aus mehreren Basiseinheiten. Jede physikalische Größe kann als Vielfaches eines Produkts dieser Basiseinheiten (bzw. von Potenzen dieser Basiseinheiten) ausgedrückt werden. Für einige der abgeleiteten Einheiten existieren zusätzlich auch eigene Einheitennamen, z.B. das Newton als Einheit der Kraft.

Beispiel 3.1.12  
An einer Federwaage zieht eine Kraft von 5 N:

5 N=5  kg m   s2  .



Die wichtigsten abgeleiteten Einheiten sind:  

Physikalische Größe      Variablenzeichen      Physikalische Einheit      Einheitenzeichen     
Geschwindigkeit v – m s
Beschleunigung a – m s2
Kraft F Newton N= kg m s2
Impuls p – kg m s
Arbeit / Energie W / E Joule J=V A s=N m= kg  m2 s2
Leistung P Watt W= J s =V A= kg  m2   s3
Ladung Q Coulomb C=A s
Spannung U Volt V= J C = kg  m2 A  s3
Elektrische Feldstärke E – N C = V m = kg m A  s3
Magnetische Flussdichte B Tesla T= V s m2 = kg A  s2
Widerstand R Ohm Ω= V A = kg  m2 A2   s3
Kapazität C Farad F= C V = A2   s4 kg  m2
Induktivität L Henry H= V s A = kg  m2 A2   s2
 

Video 5: Wissenschaftliche Zahlendarstellung (C) .

 


 

Wissenschaftliche Zahlendarstellung (!)


In der Wissenschaft, insbesondere in der Physik, werden große bzw. kleine Zahlen meist in der sogenannten wissenschaftlichen Darstellung notiert. Der Zahlenwert wird hierbei unterteilt in das Produkt von einer Kommazahl zwischen 1 und 10 (Mantisse M genannt) und einer ganzzahligen Potenz der Zahl 10 mit dem Exponenten E:

M· 10E  .



Hiermit vermeidet man zunächst das überflüssige Anschreiben vieler Nullen. Außerdem ermöglicht es, die Zahlenwerte für physikalische Größen mit einer sinnvollen Zahl an signifikanten Stellen anzugeben. Sinnvollerweise sind nämlich maximal nur so viele Stellen anzugeben, wie es im Rahmen der Genauigkeit der physikalischen Messgröße notwendig ist.  

Video 6: Beispiele zu wissenschaftlichen Zahlendarstellungen (C) .

 

Beispiel 3.1.13  


12 000 000 m = 1,2· 107  m 0,000 000 34 s = 3,4· 10-7  s



Video 7: Vorsilben von Zahlen (C) .

 


 

Vorsilben (!)


Die Information zur Zehnerpotenz einer Zahl kann auch durch die Wahl einer entsprechenden Vorsilbe ausgedrückt werden. Die Vorsilbe wird dem Namen der Einheit vorangestellt und ersetzt je nach Wahl der Vorsilbe ein dezimales Vielfaches der Einheit, d.h. eine bestimmte Zehnerpotenz, mit der die SI-Einheit multipliziert werden muss. Die Vorsilben zur Bildung von Vielfachen der SI-Einheiten sind:  

Vorsilbe      Zeichen      Zehnerpotenz     
Peta P 1015  
Tera T 1012
Giga G 109
Mega M 106
Kilo k 103
Hekto h 102
Deka da 101
Dezi d 10-1
Zenti c 10-2
Milli m 10-3
Mikro µ 10-6
Nano n 10-9
Piko p 10-12
Femto f 10-15
 

Video 8: Beispiele zu Vorsilben (C) .



Beispiel 3.1.14  


5,6· 106  W = 5,6 MW 7,8· 10-6  s = 7,8 µs



Man beachte, dass im Fall der Masse das Kilogramm ( kg) die SI-Basiseinheit darstellt, während das Gramm, obwohl eine Masseneinheit ohne Vorsilbe, als 10-3  kg definiert ist.  

Video 9: Nicht-SI-Einheiten (C) .



Video 10: Umrechnung von Nicht-SI-Einheiten (C) .



 

Alltagseinheiten (!)


Aus historischen Gründen sind auch heute noch Einheiten gebräuchlich, die kein dezimales Vielfaches von SI-Einheiten darstellen (z.B. Zoll, Pfund, Kilopond, Torr, Fahrenheit). Sie sollten, wenn möglich, vermieden werden. Stattdessen sollte man sich auf die Einheiten im SI-System beschränken. Die SI-Einheiten der Zeit sind ein Sonderfall, da bei ihnen für die höheren Vielfachen der Basiseinheit (Sekunde s) der Faktor 60 ( 1 min=60 s) bzw. 3600 ( 1 h=60 min=3600 s) verwendet wird. Dies macht insbesondere die Umrechnung von zusammengesetzten Einheiten in die Basiseinheit aufwendiger.

Beispiel 3.1.15  


1  km h = 1· 1000 m 3600 s = 1 3,6 · m s =0,278  m s 1 kWh = 1·1000 W·3600 s=3,6· 106  Ws=3,6 MJ

 

Video 11: Größenordnungen (C) .



 

Größenordnungen (!)


Die Zahlen, mit denen ein Physiker arbeitet, umfassen Werte von extrem klein bis extrem groß und decken damit ein riesiges Zahlenspektrum ab. Bei vielen physikalischen Fragestellungen ist es sinnvoll, nicht exakte Zahlenwerte zu betrachten, sondern sich lediglich über die Größenordnung der Zahl Gedanken zu machen. Unter der Größenordnung einer physikalischen Größe versteht man die Anzahl ihrer Zehnerpotenzen, bezogen auf die Basiseinheit der Größe. Die Größenordnung gibt also einen groben Richtwert für die physikalische Größe an, d.h. man ordnet sie einem gewissen Größenbereich zu.

Die Größenordnung gibt z.B. bei quantitativen Vergleichen von Eigenschaften verschiedener Objekte einen wichtigen Hinweis auf den Stellenwert dieser Eigenschaft. Deswegen werden solche Unterschiede gerne direkt als Größenordnung formuliert. So ist etwa die Masse der Sonne ( 2· 1030  kg) um sechs Größenordnungen größer als die Masse der Erde ( 6· 1024  kg).  

Video 12: Beispiel 1 zu Größenordnungen (C) .

 
Video 13: Beispiel 2 zu Größenordnungen (C) .

 


 

Aufgaben zum Abschätzen von Größenordnungen
In den folgenden Fragen soll jeweils die Größenordnung abgeschätzt werden. Dies bedeutet, dass man die ungefähre Größe z.B. der Ausdehnung eines Objekts angeben soll. Es soll dabei nur der Größenbereich angegeben werden, also bei der metrischen Skala, ob das Objekt 1 m, 10 m oder 0,1 m groß ist. Z.B. ergäbe sich für die Größe eines Hauses ca. 10 m, für die Länge eines Sportplatzes ca. 100 m. In den folgenden Aufgaben soll daher immer nur der Exponent in der wissenschaftlichen Schreibweise von Zahlen angegeben werden. Also für das Beispiel des Sportplatzes mit 100 m= 102  m ergäbe sich dann als gesuchter Exponent E=2.