8.2.2 Brechung, Reflexion und Transmission

 

Brechung, Reflexion und Transmission (+)
Wenn eine Welle bei ihrer Ausbreitung auf ein anderes Medium (Hindernis) trifft, nimmt dessen Oberflächenstruktur die Energie der Welle auf, und von jedem Punkt der Oberfläche geht eine neue kugelförmige Elementarwelle aus (Huygens’sches Prinzip), die sich mit der gleichen Frequenz in alle Richtungen ausbreitet. Die Einhüllenden dieser Elementarwellen bilden neue Wellenfronten mit veränderter Wellenlänge, die dann im Brechungswinkel von der Grenzfläche ausgehen.
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Wellentyp	Physikalischer Mechanismus
Mechanisch (z.B. Schall)	Die Oberflächenstruktur nimmt die ankommende Energie durch Kompression auf und sendet bei der elastischen Rückbildung eine neue mechanische Kugelwelle aus
Elektromagnetisch (z.B. Licht)	Die Elektronen der Oberflächenatome nehmen die Energie der ankommenden Welle kurz auf und geben sie dann in Form einer neuen elektromagnetischen Kugelwelle wieder ab.

Zur Bestimmung des Brechungswinkels benötigt man das Snellius’sche Brechungsgesetz: Anmerkungen

• Dabei ist $c$ die Ausbreitungsgeschwindigkeit im Vakuum und $c_i$ in dem betrachteten Medium (Dielektrikum). Der Brechungsindex für elektromagnetische Wellen hängt von der relativen Permittivität (Dielektrizitätszahl) ${\epsilon }_{\text{r},i}$ und relativen Permeabilität ${\mu }_{\text{r},i}$ ab.
  
  
• Bei der Ausbreitung von mechanischen Wellen in Festkörpern unterscheidet man zwischen Druckwellen (P) und Scherwellen (S). Wenn eine einlaufende Druckwelle reflektiert bzw. gebrochen wird, entstehen sowohl Druck- als auch Scherwellen, die sich danach mit verschiedenen Winkeln ausbreiten. In Flüssigkeiten und Gasen gibt es nur Druckwellen (Longitudinalwellen).
  
  

Phasensprung
Beim Übergang in ein optisch dichteres Medium ($n_2>n_1$) tritt zwischen senkrecht einfallender und reflektierter Welle ein Phasensprung von $\pi$ bzw. $180{}^{\circ }$ auf, anders herum dagegen nicht.
Totalreflexion
Beim Übergang von einem (optisch) dichteren in ein weniger dichtes Medium wird der Strahl von der Lotrichtung weg gebrochen. Ist der Austrittswinkel $90{}^{\circ }$ erreicht, spricht man beim Einfallswinkel vom Grenzwinkel. Vergrößert sich der Einfallswinkel weiter, tritt Totalreflexion auf (schraffierter Bereich). Aus dem Snellius’schen Gesetz folgt:

${\displaystyle {\phi }_2=90{}^{\circ }\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}⟹\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}{\phi }_{\text{g}}=\arcsin \frac{n_2}{n_1}\hspace{0.5em}.}$

Streuung
Wenn die Reflexion von Wellen auf Grund der Oberflächenbeschaffenheit eines Mediums ungebündelt und statistisch in alle Richtungen erfolgt, spricht man von Streuung.

Energiebetrachtungen
Je nach Einfallwinkel und Material der angrenzenden Medien teilen sich die Energie und Intensität der ankommenden Welle in verschiedene Anteile auf:

${\displaystyle E_{\text{einf}}=E_{\text{refl}}+E_{\text{trans}}+E_{\text{abs}}\hspace{0.5em},\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}{I}_{\text{einf}}=I_{\text{refl}}+I_{\text{trans}}+I_{\text{abs}}\hspace{0.5em}.}$
Die absorbierte Energie wird z.B. durch Dissipation in Wärme umgewandelt oder (bei Schallwellen) im Hindernis als Körperschall weitergeleitet.
Beim Übergang einer Welle zwischen zwei Medien sind die Verhältnisse zwischen den Amplituden $A$ und Intensitäten $I$ der eingehenden, reflektierten und transmittierten Wellen interessant. Man definiert deshalb folgende Kennzahlen: Die Transmission einer Welle erfolgt im Allgemeinfall unter einem anderen Winkel als bei der einfallenden Welle. Deshalb müssen die Winkel beim Transmissionsgrad (Verhältnis der Intensitäten = Flächenbezogene Leistungen) berücksichtigt werden. Für den Spezialfall einer senkrecht einfallenden Welle lässt sich der Reflexionsfaktor aus den bekannten Eigenschaften der zwei angrenzenden Medien wie folgt berechnen:

Herleitung der allg. Formel für den Reflexionsfaktor am Bsp. einer Schallwelle
Randbedingungen an der Grenzfläche zwischen Medium 1 und 2:

Kräftegleichgewicht links und rechts	${\hat{p}}_{\text{einf}}+{\hat{p}}_{\text{refl}}={\hat{p}}_{\text{trans}}+{\hat{p}}_{\text{abs}}$	(1)
Kontinuitätsbedingung	${\hat{v}}_{\text{einf}}-{\hat{v}}_{\text{refl}}={\hat{v}}_{\text{trans}}+{\hat{v}}_{\text{abs}}$	(2)
mit $\hat{p}=Z\hat{v}$ wird aus (2)	${\displaystyle \frac{{\hat{p}}_{\text{einf}}}{Z_1}-\frac{{\hat{p}}_{\text{refl}}}{Z_1}=\frac{{\hat{p}}_{\text{trans}}}{Z_2}+\frac{{\hat{p}}_{\text{abs}}}{Z_2}}$	(3)
Einsetzen der rechten Seite von (1) in (3) und Eliminieren von ${\hat{p}}_{\text{trans}}+{\hat{p}}_{\text{abs}}$	${\displaystyle {\hat{p}}_{\text{refl}}=\frac{Z_2-Z_1}{Z_2+Z_1}{\hat{p}}_{\text{einf}}}$
Allg. Formel für den Reflexionsfaktor (gilt auch für elektromagn. Wellen)	${\displaystyle r=\frac{A_{\text{refl}}}{A_{\text{einf}}}=\frac{{\hat{p}}_{\text{refl}}}{{\hat{p}}_{\text{einf}}}=\frac{Z_2-Z_1}{Z_2+Z_1}}$

Einsetzen der Wellenwiderstände (-impedanzen):

für eine Schallwelle: Schallkennimpedanz $Z_i={\rho }_i{c}_i$	${\displaystyle r=\frac{{\rho }_2{c}_2-{\rho }_1{c}_1}{{\rho }_2{c}_2+{\rho }_1{c}_1}}$
für eine elektromagn. Welle: $Z_i={\mu }_0{c}_i$ mit $c_i=c/n_i$	${\displaystyle r=\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}}$