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  3. Elektrostatik
  4. Plattenkondensator und Kapazität (*),(+)

5.1.4 Plattenkondensator und Kapazität





 

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Video 26: Der Plattenkondensator (C) .



 

Der Plattenkondensator (+)


Kondensatoren dienen dazu, elektrische Ladung zu speichern. Das einfachste Beispiel für einen Kondensator sind zwei parallele Metallplatten, wobei auf der einen Platte eine positive und auf der anderen Platte eine genauso große negative Ladung aufgebracht wird:

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Abbildung 5.1.89: Plattenkondensator (C)



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Abbildung 5.1.90: Schematischer Plattenkondensator aus zwei Metallstreifen (C)

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Abbildung 5.1.91: Elektrisches Feld eines Plattenkondensators (C)



 
Das elektrische Feld eines Plattenkondensators ist näherungsweise homogen. Für die Feldstärke E als Funktion der gespeicherten Ladung Q und der Plattenfläche A gilt

E= Q A ε0  .

Schematisch wird dies im folgenden Bild dargestellt:
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Abbildung 5.1.92: Elektrisches Feld eines Plattenkondensators  (C)



Dadurch wird die Spannung U:

U=- ∫d 0 E dx= ∫0 d E dx=E·d= Q A ε0 ·d .



Wenn A und d sich nicht ändern, gilt:

U∝Q .

Je mehr Ladungen auf den Kondensator aufgebracht werden, desto höher ist die Spannung U zwischen den Platten.

 
Den Proportionalitätsfaktor zwischen U und Q bezeichnet man als „Kapazität“ – nämlich die Fähigkeit, Ladung zu speichern. Das Symbol ist vom englischen „Capacity“ abgeleitet:

C= Q U ⇔ U= Q C  , [C]= Coulomb Volt = C V =: F  (Farad, nach Michael Faraday, 1791–1867).



Ein Kondensator hat eine Kapazität von 1 Farad, wenn er bei Aufladung mit 1 C eine Spannung von 1 V zeigt. Je größer die Kapazität ist, umso mehr Ladung kann auf dem Kondensator gespeichert werden.

 
Die Speicherkapazität von Kondensatoren hängt von wichtigen Eigenschaften des Kondensators ab. Man kann die Kapazität deshalb mit charakteristischen Größen des Kondensators berechnen. Für den Plattenkondensator gilt:

C = ε0 A d  , d = Abstand der Kondensatorplatten.



Typische Werte von handelsüblichen Kondensatoren liegen in der Größenordnung von µF bis pF. Zur Erinnerung: µF= 10-6  F, nF= 10-9  F, pF= 10-12  F.

 

Isolatoren im Kondensator (*)


Video 27: Isolatoren im Kondensator (C) .



Wir haben schon besprochen, dass das Innere von Leitern immer feldfrei ist. Dies gilt auch, wenn sie sich zwischen den Platten eines Kondensators befinden. Doch was ist mit Nichtleitern, in denen die Ladungen nicht frei beweglich sind?

Atome bestehen aus dem positiven Atomkern und den negativen Elektronen in der Atomhülle. Die Kerne sind in einem Festkörper in ein Kristallgitter gebunden, die Elektronen jedoch können sich auch in einem Nicht-Leiter in einem gewissen Bereich um die Kerne bewegen. Man nennt das „Polarisierbarkeit“:

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Abbildung 5.1.93: Atom in einem entladenen Kondensator  (C)



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Abbildung 5.1.94: Polarisation im elektrischen Feld eines Kondensators  (C)



In einem externen elektrischen Feld werden die Elektronen der Hülle zum Pluspol gezogen bzw. vom Minuspol abgestoßen. In einem makroskopischen Festkörper bildet sich dadurch eine „Netto-Ladungstrennung“ aus, die aber nur im elektrischen Feld des Kondensators Bestand hat:

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Abbildung 5.1.95: „Netto-Ladungstrennung“ bei einem Nichtleiter im Plattenkondensator  (C)



Man bezeichnet diese Ladungstrennung als Verschiebungspolarisation und die Verbiegbarkeit der Elektronenhülle als Polarisierbarkeit. Da das äußere elektrische Feld das Medium zwischen den Kondensatorplatten durchdringt, bezeichnet man dieses Medium als „Dielektrikum“.


 

Isolatoren im Kondensator ohne Spannungsquelle (*)


Wir betrachten zuerst einen Kondensator, der wie im obigen Bild aufgeladen und dann von der Spannungsquelle getrennt wurde. Aufgrund der Verschiebepolarisation entsteht im Dielektrikum ein kleines elektrisches Feld, das dem äußeren Feld genau entgegengesetzt ist. Somit hebt sich im Dielektrikum ein Teil des äußeren Feldes weg. Das Feld zwischen den Platten ist also nun schwächer als ohne Dielektrikum. Die Kraft F' auf eine in den Kondensator gebrachte Probeladung q ist dadurch geringer und damit die Arbeit, die erforderlich ist, q von einer Platte zur anderen zu bringen, auch. Die Verringerung des elektrischen Feldes kann man mit einem Faktor ε r beschreiben:

E' = E ε r ⇒  F' = q E' =q E ε r ⇒  W' = q E ε r d= qU'  .



Die Spannung zwischen den Platten wird nun also auch geringer (Achtung: am Kondensator ist keine Spannungsquelle!), es ist

U' = E ε r  d= U ε r  .

Die Ladung auf den Platten ist konstant und beträgt Q=CU= C' U' , und daraus folgt für die

Kapazität mit Dielektrikum  


C' = Q U' = Q U   ε r =C ε r = ε r ε0 A d  .

Der Faktor ε r ist die relative Dielektrizitätskonstante und ist eine Material-Eigenschaft. Für Luft ist ε r ≈1, für andere übliche Dielektrika gilt, dass ε r deutlicher größer als 1 ist.


Beispiel 5.1.47  
Gegeben ist ein Plattenkondensator mit der Kapazität C=1 F, der mit der Spannung U=1 V aufgeladen und dann von der Spannungsquelle getrennt wurde. Schiebt man ein Dielektrikum aus Porzellan zwischen die Platten ( ε r =7), so ergibt sich für die erhöhte Kapazität

C' = ε r C=7·1 F=7 F ,

und die Spannung sinkt auf

U' = U ε r = 1 V 7 ≈0,143 V .

Die Ladung bleibt dabei gleich: Q=CU= C' U' =1 C.


 

Isolatoren im Kondensator mit Spannungsquelle (*)


Bleibt der Kondensator nach der Aufladung an der Spannungsquelle angeschlossen, dann bleibt die Spannung U zwischen den Kondensatorplatten konstant. Damit bleibt auch das elektrische Feld zwischen den Platten konstant, und um die Feldschwächung im Dielektrikum aufgrund der Verschiebepolarisation auszugleichen, müssen mehr Ladungen aus der Spannungsquelle auf die Platten fließen:

Q' = C' U= ε r CU .

Es passen nun also mehr Ladungen auf die Platten, da die Kapazität durch das Dielektrikum erhöht wurde.

Beispiel 5.1.48  
Gegeben sei derselbe Plattenkondensator mit der Kapazität C=1 F, der mit der Spannung U=1 V aufgeladen wird, aber nicht von der Spannungsquelle getrennt wird. Schiebt man nun wieder das Dielektrikum aus Porzellan zwischen die Platten, erhöht sich wie zuvor die Kapazität auf

C' = ε r C=7·1 F=7 F ,

die Spannung bleibt aber konstant bei U=1 V.
Der Kondensator kann aber nun eine Ladung von

Q' = C' U=7 F·1 V=7 C

anstatt 1 C aufnehmen.


Video 28: Die Braunsche Röhre (C) .



 

Braunsche Röhre (*)


Zum Abschluss dieser Lektion wollen wir uns noch einmal die Bewegung einer einzelnen negativen Ladung in elektrischen Feldern anschauen. Als Beispiel dient uns dabei die sogenannte Braunsche Röhre. Die Braunsche Röhre ist eine evakuierte Glasröhre, in der zwei Kondensatoren angebracht sind.

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Abbildung 5.1.96: Aufbau einer Braunschen Röhre (C)



Kondensator 1:
  • negative Heizkathode = Glühdraht, emittiert Elektronen;

  • negative zylinderförmige Kathode (auch Wehnelt-Zylinder genannt) = extrahiert und fokussiert die Elektronen;

  • positive Anode mit Beschleunigungsspannung U B = φ Anode - φ Kathode .

Kondensator 2:
  • Ablenkkondensator mit Ablenkspannung U h .



In der nachfolgenden Abbildung ist ein Längsschnitt durch die Röhre dargestellt.

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Abbildung 5.1.97: Längsschnitt durch eine Braunsche Röhre (C)



Prozesse in der Braunschen Röhre
  • Kathode mit Heizdraht und Anode: Aufgrund der großen Spannung zwischen Anode und Kathode werden Elektronen aus der Kathode herausgerissen und zur Anode hin beschleunigt.

    Energie hinter der Anode:

    W kin , B =q·U=e· U B = 1 2   me v2  .



  • Ablenkkondensator mit Spannung U h und Plattenabstand d: Elektronen erfahren eine Kraft nach oben,

    Fy =q· Ey =e· U h d = me · ay  .



  • Kinematische Beziehungen in Analogie zum waagrechten Wurf:
    • x-Richtung:

      ax (t) = 0 , vx (t) = v0x  , x(t) = v0x ·t ,

      dabei v0x aus W kin , B :

      v0x = 2 eU B me  ;



    • y-Richtung:

      ay (t) = ay = e me · U h d  , vy (t) = ay ·t , y(t) = 1 2   ay · t2  ;





  • löse x(t) nach t auf und setze in y(t) ein:

    y= 1 2   ay ( x v0x )2 = 1 2 e me · U h d · me 2 eU B · x2  ;



  • gekürzt:

    y= 1 4 · U h U B · 1 d · x2  .



  • Die Endablenkung ist also unabhängig von der Ladung und Masse. Sie hängt nur von den beiden Spannungen und dem Plattenabstand d des Ablenkkondensators ab.



Beispiel 5.1.49  


U B = 1500 V ,   U h =600 V ,   d=10 mm , y = 1 4 · 600 V 1500 V · 1 10 mm · x2 =0,01· x2  [mm] .

Die Punkte sind berechnete y-Werte für x=1 , 2 , … , 17 mm.

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Abbildung 5.1.98: Elektronenbahn im Ablenkkondensator (C)



An der interaktiven GeoGebra-Skizze kann U B und U h variiert und diese Abhängigkeit überprüft werden.

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Diese Interaktion wurde mit GeoGebra erstellt (www.geogebra.org)

Video 29: Elektrische Energie im Kondensator – erster Teil (C) .



Video 30: Elektrische Energie im Kondensator – zweiter Teil (C) .



 

Energie im Kondensator (+)


Wird ein Kondensator aufgeladen und anschließend eine Glühbirne in den Stromkreis des Kondensators geschaltet, so leuchtet die Birne für eine gewisse Zeit. Denn die im Kondensator gespeicherten Ladungen fließen ab und erzeugen einen Strom. Mit anderen Worten: Die im Kondensatorfeld gespeicherte elektrische Energie wird genutzt, um Arbeit zu leisten, d.h. um die Lampe zum Leuchten zu bringen. Der Kondensator wird hierbei allmählich wieder entladen.

Im Folgenden soll untersucht werden, welche Energiemenge in einem elektrischen Kondensatorfeld gespeichert werden kann.

Q sei die Ladungsmenge, mit der der Kondensator aufgeladen wurde. Auf der einen Platte befindet sich dabei die Ladung +Q, auf der anderen Platte die Ladung -Q.

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Abbildung 5.1.100: Zusammenhang zwischen Ladungsmenge Q und Spannung U beim Plattenkondensator  (C)



Die Spannung zwischen den Platten beträgt, wie wir weiter oben gesehen haben:

U0 = Q C  .

Da der Kondensator entladen wird, während er die Glühbirne antreibt, verändert sich die Ladungsmenge Q und damit auch die Spannung. Wir betrachten zunächst eine kleine Ladungsänderung ΔQ. Bei der Entladung um ΔQ nimmt die Spannung um den Wert ΔU ab:

ΔU= ΔQ C   ⟹   ΔQ=ΔU·C .

Dabei wird die Energie

ΔW=U·ΔQ

umgesetzt, die die Glühlampe zum Leuchten bringt. Setzt man für ΔQ obige Formel ein, so erhält man:

ΔW=U·ΔU·C .

Am Ende dieses kleinen Schrittes ist die Spannung des Kondensators auf U0 -ΔU abgesunken. Um die gesamte Arbeit des Entladungsvorgangs zu bestimmen, muss man diesen Schritt permanent wiederholen. Dabei wird die Teilspannung ΔU so klein gewählt, dass man sie als differentielle Größe schreiben kann. Das gleiche gilt für die umgesetzte Arbeit:

ΔU → dU , ΔW → dW .

Um die Gesamtarbeit W ges des Entladungsvorgangs zu berechnen, muss man die einzelnen „Teilarbeiten“ Δ Wi summieren. Für den Übergang von ΔW auf das noch kleinere dW kann man die Summenbildung durch eine Integration über die Spannung U ersetzen und erhält die
im Kondensator gespeicherte Energie  


∫0 W ges dW= W ges =- ∫ U0 0 C·U dU= 1 2 C U0 2  .



Beispiel 5.1.51  
Ein Kondensator mit der Kapazität C=10 µF wird auf 1 kV aufgeladen. Wie groß ist die gespeicherte Energie?



 

Energie im Kondensatorfeld (*)


Wo ist diese Energie nun genau gespeichert?

Kapazität eines Plattenkondensators:

C= ε0 A d  .

Einsetzen in die Energiegleichung:

W= 1 2   ε0 A d   U2  .

Andererseits gilt für die elektrische Feldstärke:

E= U d  ⇔ U=E·d .

Einsetzen in die Energiegleichung:

W= 1 2   ε0 A d  (E·d )2 = 1 2   ε0 E2 ·A·d .

A·d ist nichts anderes als das Volumen V zwischen den Kondensatorplatten, also das Volumen, das vom homogenen Feld ausgefüllt wird. Teilen wir die Energie durch das Volumen, erhalten wir die
Energiedichte  


ρ el = W V = 1 2   ε0 E2  .

Die Energie ist also im gesamten elektrischen Feld gespeichert. Dies ist ein fundamentales Gesetz des Elektromagnetismus. Es gilt unabhängig von Kondensatoren für alle elektrischen Felder.

Beispiel zur Anwendung in der Praxis
Beispiel 5.1.53  
Mikrowellen sind elektromagnetische Wellen, bei denen sich zeitlich veränderliche elektrische und magnetische Felder im Raum fortpflanzen. In den elektrischen und magnetischen Feldern steckt Energie. Die Energiedichte des elektrischen Feldes kann durch die oben genannte Beziehung beschrieben werden. Diese Energie kann dazu verwendet werden, Essen aufzuwärmen.


Gedanklicher Exkurs zum späteren Thema Magnetismus

Auch für Magnetfelder kann man eine Energiedichte formulieren. Die analoge Beziehung zum E-Feld lautet für das Magnetfeld:

ρ mag = 1 2 μ0 B2  ;



ρ mag = magnetische Energiedichte  , B = magnetische Flussdichte  , μ0 = magnetische Feldkonstante  .





Wenn im Aufgabentext nicht anders angegeben, geben Sie die Ergebnisse auf ganze Zahlen gerundet an. Bei Angaben in wissenschaftlicher Schreibweise (Exponentialschreibweise) runden Sie auf zwei Nachkommastellen.
Verwenden Sie e=1,602 · 10-19   C und ε0 =8,854 · 10-12   A s V m  .