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Allgemeine Historie: Ausgangstexte und GeoGebra-Inhalte: Stefan Roth, RWTH Aachen, 2016, 2017
Textüberarbeitung: Walburga Wilms-Grabe, KIT Karlsruhe, 2017, 2018
Überarbeitung der Lektionsaufgaben: Michael Marz, KIT Karlsruhe, 2017, 2018
Lektionsvideos: Jörg Heidbüchel, Saskia Kraft-Bermuth, Oliver Sternal, Universität Stuttgart, 2017, 2018
Basiswissen: Karin Hehl, Hochschule Reutlingen, 2017, 2018
Überarbeitung Lektionstext: Stefan Roth, RWTH Aachen, 16.02.2018
Ende der allgemeinen Historie

Physikkurs/impulsstoss_erhaltung/impulsstoss_erhaltung.tex
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4.4.1 Impulserhaltung

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Kraftstoß (+)

Video 1: Definition Kraftstoß (C) .

Abbildung 4.4.1: Kraft auf Körper (C)

Wirkt auf einen Körper eine Kraft

F

, so erfährt er die Beschleunigung

a =\frac{F}{m} .

Der Körper habe die Anfangsgeschwindigkeit

v_{0}

. Dann erreicht er mit der konstanten Beschleunigung

a

während einer Zeitdauer

t

die Endgeschwindigkeit

v(t) = at + v_0 = \frac{F}{m} t + v_0 .

Ist die Beschleunigung nicht konstant, ergibt sich

v (t) = \int_{0}^{t} a (t^{'}) d t^{'} + v_{0}

​ = \frac{1}{m} \int_{0}^{t} F (t^{'}) d t^{'} + v_{0} .

Das hierbei entscheidende Integral

\MBoxed{ \int_{t_1}^{t_2} F(t) \MDwSp t} , t_1<t_2 ,

nennt man den Kraftstoß.

Video 2: Beispiel zum Kraftstoß (C) .

Beispiel 4.4.1
Ein Körper wird über einen Zeitraum von

5 s

mit einer konstanten Kraft

F = 400 N

reibungsfrei angeschoben. Berechnen Sie den von der Kraft

F

bewirkten Kraftstoß.

Abbildung 4.4.2: Kraftstoß auf Körper (C)

Wegen der zeitlichen Konstanz der Kraft,

F (t) = F = const

, gilt

\int_{0}^{Δ t} F (t^{'}) d t^{'}

​ = F Δ t

​ = 400 N \cdot 5 s

​ = 2000 N s

​ = 2000 k g \frac{m}{s^{2}} s

​ = 2000 k g \frac{m}{s} .

Video 3: Beispiel zum Kraftstoß (C) .

Beispiel 4.4.2
Ein ruhender Körper der Masse

m = 50 k g

wird mit einer konstanten Kraft

F = 200 N

über eine Strecke von

Δ s = 2 m

reibungsfrei angeschoben, bevor er frei gleiten kann.

Berechnen Sie den durch die Kraft

F

bewirkten Kraftstoß.

Abbildung 4.4.3: Körper wird auf einer Strecke mit konstanter Kraft angeschoben (C)

Wegen der zeitlichen Konstanz der Kraft,

F (t) = F = const

, gilt

\int_{0}^{t} F (t^{'}) d t^{'}

​ = \int_{0}^{t} F d t^{'}

​ = F \int_{0}^{t} 1 d t^{'}

​ = F {[t^{'}]}_{0}^{t}

​ = F (t - 0)

​ = F t .

Berechne den Zeitpunkt

t

, an dem die Kraftwirkung beendet wird:

F = m a ⟺

a = \frac{F}{m} = const .

Bewegung mit konstanter Beschleunigung (dabei sind

s

und

a

vorgegeben):

s = \frac{1}{2} {a t}^{2} + v_{0} t + s_{0},

v_{0} = 0, s_{0} = 0,

⟹ s = \frac{1}{2} {a t}^{2}

⟹

t = \sqrt{\frac{2 s}{a}}

​ = \sqrt{\frac{2 s m}{F}} .

Daraus folgt für den Kraftstoß:

\int_{0}^{t} F d t^{'} = F t

​ = F \sqrt{\frac{2 s m}{F}}

​ = \sqrt{F^{2} \frac{2 s m}{F}}

​ = \sqrt{2 s m F}

​ = \sqrt{2 \cdot 2 m \cdot 50 k g \cdot 200 N}

​ = \sqrt{40 000 m k g N}

​ = \sqrt{4 \cdot 10^{4} m k g \cdot k g \frac{m}{s^{2}}}

​ = \sqrt{4 \cdot 10^{4} {k g}^{2} \frac{m^{2}}{s^{2}}}

​ = 2 \cdot 10^{2} k g \frac{m}{s}

​ = 200 k g \frac{m}{s} .

Video 4: Beispiel zum Kraftstoß (C) .

Beispiel 4.4.3
Auf einen quaderförmigen Körper, der über einen reibungsfreien Untergrund gleitet, wirkt eine Kraft

F

mit

F = F (t)

​ = F_{0} \cos (π k t),

F_{0} = 250 N,

k = \frac{1}{20 s}

über einen Zeitraum von

10 s

. Berechnen Sie den Kraftstoß, der durch die Kraft

F

bewirkt wird.

Abbildung 4.4.4: Kraftstoß auf Körper (C)

\int_{0}^{t} F (t^{'}) d t^{'}

​ = \int_{0}^{t} F_{0} \cos (π {k t}^{'}) d t^{'}

​ = F_{0} \int_{0}^{t} \cos (π {k t}^{'}) d t^{'}

​ = F_{0} {[\frac{1}{π k} \sin (π {k t}^{'})]}_{0}^{t}

​ = F_{0} (\frac{1}{π k} \sin (π k t) - \frac{1}{π k} \sin (0))

​ = \frac{F_{0}}{π k} \sin (π k t),

⟹ \int_{0}^{t} F (t^{'}) d t^{'}

​ = \frac{250 N}{π \cdot \frac{1}{20 s}} \sin (π \cdot \frac{1}{20 s} \cdot 10 s)

​ = \frac{5000 N s}{π} \underset{1}{\underset{⏟}{\sin (\frac{π}{2})}}

​ \approx 1592 N s .

Impuls (!)

Video 5: Definition Impuls (C) .

Abbildung 4.4.5: Körper mit Geschwindigkeit (C)

Der Impuls

p

eines Körpers ist als das Produkt aus seiner Masse und seiner Geschwindigkeit definiert:

\MBoxed{\MVec{p} = m ~ \MVec{v}} .

Die Einheit des Impulses ist

1\MEinheit{kg}\MEinheit{}\frac{\MEinheit[]{m}}{\MEinheit[]{s}} = 1\MEinheit{N}\MEinheit{s} .

Leitet man den Impuls nach der Zeit ab, geht dabei von einer konstanten Masse aus und nutzt schließlich das zweite newtonsche Axiom, ergibt sich:

\frac{d p}{d t} = \frac{d}{d t} (m v)

​ = m \frac{d v}{d t} = m a = F .

Die Integration dieser Gleichung liefert

\int_{t_{1}}^{t_{2}} F (t^{'}) d t^{'}

​ = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \frac{d p}{d t^{'}} d t^{'}

​ = \int_{p_{1}}^{p_{2}} d p

​ = p_{2} - p_{1} = Δ p .

Ein Kraftstoß, der auf einen Körper einwirkt, führt also unmittelbar zu einer Impulsänderung des Körpers. Aus dieser Gleichung folgt auch, dass Kraftstoß und Impuls die gleiche physikalische Einheit besitzen.

Video 6: Beispiel Impuls und Kraftstoß (C) .

Beispiel 4.4.4

Abbildung 4.4.6: Raumsonde und Asteroid (C)

Eine Raumsonde der Masse

m_{R} = 500 k g

bewegt sich mit der Geschwindigkeit

v_{R} = 40 000 m / s

geradlinig durch den Weltraum. Ein Asteroid der Masse

m_{A} = 2 \cdot 10^{9} k g

bewegt sich mit der Geschwindigkeit

v_{A} = 38 000 m / s

entlang derselben Geraden.

Berechnen Sie die Impulse $p_{R}$ und $p_{A}$ von Raumsonde und Asteroid.
Um auf dem Asteroiden landen zu können, muss die Raumsonde abgebremst werden. Berechnen Sie den dazu nötigen Kraftstoß.

$p_{R} = m_{R} v_{R}$ $ = 500 k g \cdot 40 000 \frac{m}{s}$ $ = 5 \cdot 10^{2} \cdot 4 \cdot 10^{4} k g \frac{m}{s}$ $ = 20 \cdot 10^{6} k g \frac{m}{s}$ $ = 2 \cdot 10^{7} k g \frac{m}{s},$
$p_{A} = m_{A} v_{A}$ $ = 2 \cdot 10^{9} k g \cdot 38 000 \frac{m}{s}$ $ = 2 \cdot 10^{9} \cdot 3,8 \cdot 10^{4} k g \frac{m}{s}$ $ = 7,6 \cdot 10^{13} k g \frac{m}{s} .$
Die Raumsonde wird abgebremst auf $v_{R}^{'} = v_{A} = 38 000 m / s$ . Der Impuls nach dem Abbremsen beträgt

$p_{R}^{'} = m_{R} v_{R}^{'}$ $ = 500 k g \cdot 38 000 \frac{m}{s}$ $ = 5 \cdot 10^{2} \cdot 3,8 \cdot 10^{4} k g \frac{m}{s}$ $ = 19 \cdot 10^{6} k g \frac{m}{s}$ $ = 1,9 \cdot 10^{7} k g \frac{m}{s} .$

Kraftstoß $=$ Impulsänderung:

$Δ p_{R} = p_{R}^{'} - p_{R}$ $ = 1,9 \cdot 10^{7} k g \frac{m}{s}$ $ - 2 \cdot 10^{7} k g \frac{m}{s}$ $ = - 0,1 \cdot 10^{7} k g \frac{m}{s}$ $ = - 1 \cdot 10^{6} k g \frac{m}{s} .$

Bewegungsgesetz (!)

Video 7: Impuls und zweites newtonsches Axiom (C) .

Das zweite newtonsche Axiom kann nun auch mit Hilfe des Impulses ausgedrückt werden:

\MVec{F} = m ~ \MVec{a} = m ~ \frac{\MD \MVec{v}}{\MD t} = \frac{\MD \MVec{p}}{\MD t} .

Auch hier wurde wieder von einer konstanten Masse

m

ausgegangen.

Das zweite newtonsche Axiom gilt jedoch auch allgemeiner für veränderliche Massen:

\MBoxed{ \MVec{F} = \frac{\MD \MVec{p}}{\MD t}} .

Ein bekanntes Beispiel, bei dem sich die Masse während des Beschleunigungsvorgangs ändert, ist die Rakete. Diese verliert durch den Ausstoß der Treibgase ständig an Masse. Ein anderes Beispiel sind Elementarteilchen in einem Beschleuniger. Hier werden diese oft bis in die Nähe der Lichtgeschwindigkeit beschleunigt und erfahren dabei eine Massenzunahme entsprechend der Vorhersage der Relativitätstheorie. In solchen Fällen kann man die neue Formulierung der Bewegungsgleichung anwenden. Da nun neben der Geschwindigkeit auch die Masse als Funktion der Zeit betrachtet wird, muss für die Ableitung des Impulses nach der Zeit die Produktregel angewendet werden:

\vec{F} = \frac{d \vec{p}}{d t} = \frac{d (m \vec{v})}{d t}

​ = \frac{d m}{d t} \vec{v} + m \frac{d \vec{v}}{d t} .

Als Ergebnis erhält man eine Differentialgleichung. Dies ist eine Gleichung, in der sowohl die betrachtete Variable

\vec{v}

als auch ihre Ableitung

\overset{\cdot}{\vec{v}}

vorkommen. Mit Hilfe von weiterführenden mathematischen Methoden kann man sie lösen und so die Bewegung berechnen.

Impulserhaltung (!)

Video 8: Impulserhaltung (C) .

Abbildung 4.4.7: Abgeschlossenes System (C)

Ein abgeschlossenes System im Sinne des Impulses ist ein System, bei dem auf die darin enthaltenen Körper keine Kräfte von außerhalb des Systems einwirken, sondern lediglich Kräfte zwischen den Körpern wirken. Betrachten wir zunächst ein System, das aus nur zwei Körpern besteht. Wegen des dritten newtonschen Axioms (Reaktionsprinzip) sind dort die Kräfte zwischen den beiden Körpern entgegengesetzt gleich:

\MVec{F}_{12} = - \MVec{F}_{21} .

Dies sind die einzigen Kräfte, die auf die beiden Körper wirken. Daher gilt:

\displaystyle \frac{\MD \MVec{p}_2}{\MD t} &=& \displaystyle - \frac{\MD \MVec{p}_1}{\MD t} \\ \displaystyle \Longleftrightarrow \frac{\MD \MVec{p}_1}{\MD t} + \frac{\MD \MVec{p}_2}{\MD t} & = & 0 \\ \Longleftrightarrow \MVec{p}_1 + \MVec{p}_2 & = & \text{const} .

Man kann zeigen, dass auch bei einem abgeschlossenen System, das aus mehr als zwei Körpern besteht, der Gesamtimpuls erhalten ist:

\MBoxed{ \MVec{p_{\text{ges}}} = \text{const} } .

Man sagt auch, der Impuls ist eine Konstante der Bewegung.

Video 9: Beispiel zur Impulserhaltung (C) .

Beispiel 4.4.5

Abbildung 4.4.8: Person springt auf Boot (C)

Zwei Personen (jeweils der Masse

m_{1} = 75 k g

) stehen in einem ruhenden Boot der Masse

m_{2} = 150 k g

. Eine dritte Person der Masse

m_{3} = 50 k g

springt mit einer horizontalen Geschwindigkeit

v_{A} = 2 m / s

auf das Boot.

Berechnen Sie die Geschwindigkeit

v_{B}

, mit der sich das Boot nach der Landung der dritten Person bewegt.

System: 3 Personen, 1 Boot

Impulse im System vor der Landung:

: Person 1:
$p_{1} = m_{1} \cdot 0 = 0,$
: Person 2:
$p_{2} = m_{1} \cdot 0 = 0,$
: Person 3:
$p_{3} = m_{3} \cdot v_{A}$ $ = 50 k g \cdot 2 \frac{m}{s}$ $ = 100 k g \frac{m}{s},$
: Boot:
$p_{B} = m_{2} \cdot 0 = 0$
: $⟹$ Gesamtimpuls:
$p_{ges} = $ $p_{1} + p_{2} + p_{3} + p_{B}$ $ = 100 k g \frac{m}{s} .$

Nach der Landung bewegen sich die drei Personen und das Boot mit derselben Geschwindigkeit:

: Person 1:
$p_{1}^{'} = m_{1} \cdot v_{B},$
: Person 2:
$p_{2}^{'} = m_{1} \cdot v_{B},$
: Person 3:
$p_{3}^{'} = m_{3} \cdot v_{B},$
: Boot:
$p_{B}^{'} = m_{2} \cdot v_{B}$
: $⟹$ Gesamtimpuls:
$p_{ges}^{'} = $ $p_{1}^{'} + p_{2}^{'} + p_{3}^{'} + p_{B}^{'}$ $ = m_{1} \cdot v_{B} + m_{1} \cdot v_{B}$ $ + m_{3} \cdot v_{B} + m_{2} \cdot v_{B}$ $ = (2 m_{1} + m_{2} + m_{3}) \cdot v_{B}$ $ = 350 k g \cdot v_{B} .$

Impulserhaltung:

p_{ges} = p_{ges}^{'}

⟹ 100 k g \frac{m}{s}

​ = 350 k g \cdot v_{B}

⟺

v_{B} = \frac{100 k g}{350 k g} \frac{m}{s}

​ = \frac{2}{7} \frac{m}{s} \approx \underset{= 30 \frac{c m}{s}}{\underset{⏟}{0,3 \frac{m}{s}}} .

Video 10: Beispiel zur Impulserhaltung (C) .

Beispiel 4.4.6

Abbildung 4.4.9: Person springt auf Boot auf (C)

Drei Personen (jeweils der Masse

m_{1} = 75 k g

) stehen in einem ruhenden Boot der Masse

m_{2} = 150 k g

. Eine der Personen springt mit einer horizontalen Geschwindigkeit

v_{A} = 4 m / s

vom Boot ins Wasser.

Berechnen Sie die Geschwindigkeit

v_{B}

, mit der sich das Boot nach dem Absprung bewegt.

System: 3 Personen, 1 Boot

Impulse im System vor dem Sprung:

: Person 1:
$p_{1} = m_{1} \cdot 0 = 0,$
: Person 2:
$p_{2} = m_{1} \cdot 0 = 0,$
: Person 3:
$p_{3} = m_{1} \cdot 0 = 0,$
: Boot:
$p_{B} = m_{2} \cdot 0 = 0$
: $⟹$ Gesamtimpuls:
$p_{ges} = $ $p_{1} + p_{2} + p_{3} + p_{B}$ $ = 0 .$

Nach dem Absprung bewegen sich die zwei übrigen Personen und das Boot mit derselben Geschwindigkeit:

: Person 1:
$p_{1}^{'} = m_{1} \cdot v_{A},$
: Person 2:
$p_{2}^{'} = m_{1} \cdot v_{B},$
: Person 3:
$p_{3}^{'} = m_{1} \cdot v_{B},$
: Boot:
$p_{B}^{'} = m_{2} \cdot v_{B}$
: $⟹$ Gesamtimpuls:
$p_{ges}^{'} = $ $p_{1}^{'} + p_{2}^{'} + p_{3}^{'} + p_{B}^{'}$ $ = m_{1} \cdot v_{A} + m_{1} \cdot v_{B}$ $ + m_{1} \cdot v_{B} + m_{2} \cdot v_{B}$ $ = m_{1} \cdot v_{A} + (2 m_{1} + m_{2}) \cdot v_{B} .$

Impulserhaltung:

p_{ges} = p_{ges}^{'}

⟹ 0 = ​

m_{1} \cdot v_{A} + (2 m_{1} + m_{2}) \cdot v_{B}

⟺ v_{B} = ​

- \frac{m_{1}}{2 m_{1} + m_{2}} \cdot v_{A} = ​

- \frac{75 k g}{2 \cdot 75 k g + 150 k g} \cdot 4 \frac{m}{s}

​ = - \frac{75 k g}{300 k g} \cdot 4 \frac{m}{s}

​ = - 1 \frac{m}{s} < 0 .

Das Boot bewegt sich in die dem Sprung entgegengesetzte Richtung. Die Relativgeschwindigkeit zwischen der springenden Person und dem Boot beim Sprung ergibt sich damit zu

Δ v = v_{A} - v_{B}

​ = 4 \frac{m}{s} - (- 1 \frac{m}{s})

​ = 5 \frac{m}{s}

Wenn im Aufgabentext nicht anders angegeben, geben Sie die Ergebnisse auf ganze Zahlen gerundet an. Bei Angaben in wissenschaftlicher Schreibweise (Exponentialschreibweise) runden Sie auf zwei Nachkommastellen.
Falls nicht anders angegeben, verwenden Sie

g = 9,81 \frac{m}{s^{2}}

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