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Allgemeine Historie: Ausgangstexte: Prof. Dr.-Ing. Stephan Pitsch, Hochschule Reutlingen, 2020
Latex Umsetzung: Hans Kieninger, KIT, 2020
Ende der allgemeinen Historie

Physikkurs/wellen_wellenarten/wellen_wellenarten.tex
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8.1.3 Verschiedene Wellenarten

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Eindimensionale Festkörperwellen

Video 3: Wellen in Festkörpern und Wasserwellen (C) .

Video 4: Schallwellen (C) .

Video 5: Elektromagnetische Wellen (C) .

In einem langen dünnen Stab können sich Wellen transversal oder longitudinal ausbreiten. Sein Durchmesser

d

muss deutlich kleiner als die Wellenlänge der durchlaufenden Welle sein, damit die Querkontraktion vernachlässigt werden kann.

././Physikkurs/wellen_wellenarten/images/wellenarten01.png

Abbildung 8.1.155: Welle in langem dünnem Stab (C)

Welleneigenschaften (longitudinal und transversal)
Wellenfunktion

y(x,t)=A \cdot \sin(kx \pm \omega t) .

Die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Wellen in Festkörpern (hier: langer dünner Stab) hängt von den elastischen Materialeigenschaften und der Dichte ab.

Langer dünner Stab:

c = \sqrt{G / \rho}\;(\MEinheit[]{m/s})\;\text{(transversal)}


mit	$G$	Schubmodul $(N / m^{2})$
	$ρ$	Materialdichte $(k g / m^{3})$

c = \sqrt{E / \rho}\;\text{(longitudinal)}


mit	$E$	Elastizitätsmodul $(N / m^{2})$

Wellenleistung:

P = \frac{1}{2}\rho c \omega^2 A^2 \pi\frac{d^2}{4} \;(\MEinheit[]{W})

Analog gilt für die Ausbreitungsgeschwindigkeit in einem gespannten Seil:

Gespanntes Seil / Saite:

c = \sqrt{F_{\text{s}} / \mu} \;(\MEinheit[]{m/s})\;\text{(transversal)}


mit	$F_{s}$	Spannkraft $(N)$
	$μ = m / L$	Massendichte (Masse pro Länge) $(k g / m)$

Wellenleistung:

P = \frac{1}{2}\mu c \omega^2 A^2 \;(\MEinheit[]{W})

Oberflächenwellen in Wasser
Die Form und Ausbreitungsgeschwindigkeit von Oberflächenwellen in Wasser hängen im Wesentlichen von der Art der Anregung, der Wellenlänge und der Wassertiefe ab. Die Wellenbewegung ist eine Kombination aus Transversal- und Longitudinalbewegung. Zwei wichtige Wellentypen entstehen unter dem Einfluss der Schwerkraft (Schwerewellen):


Tiefwasserwellen	$h > \frac{1}{2} λ$
Die Wellenform ähnelt einer Trochoide (bzw. Zykloide, Abrollkurve eines Punktes auf einer rotierenden Scheibe). Die Wasserteilchen führen eine kreisförmige Bewegung aus	(C)
Flachwasserwellen	$h < \frac{1}{20} λ$
Die Wellenform kann durch eine Sinusform angenähert werden. Die Wasserteilchen führen eine ellipsenförmige Bewegung aus (bei extrem flachem Wasser fast nur horizontal)	(C)

Welleneigenschaften
Wellenfunktion (Flachwasserwelle)

y(x,t)=A \cdot \sin(kx \pm \omega t)

Ausbreitungsgeschwindigkeit


Tiefwasser	$c = \sqrt{\frac{g λ}{2 π}}$ ( $\frac{m}{s}$ )	$h > \frac{1}{2} λ$
Flachwasser	$c = \sqrt{g h}$ ( $\frac{m}{s}$ )	$h < \frac{1}{20} λ$
Wellenleistung	$P = \frac{ρ g}{16} c A^{2} L$ $(W)$	(nur Tiefwasserwellen)


mit	$h$	Wassertiefe $(m)$
	$g$	Erdbeschleunigung $(m / s^{2})$
	$λ$	Wellenlänge $(m)$
	$ρ$	Wasserdichte $(k g / m^{3})$

Relative Amplitude von Wasserwellen

././Physikkurs/wellen_wellenarten/images/wellenarten04.png

Abbildung 8.1.158: Relative Amplitude von Wasserwellen (C)

Beispiel 8.1.15
Ein Wellenkraftwerk soll längs eines

1 k m

langen Küstenstreifens aufgebaut werden. Die Wassertiefe ist

h = 200 m

, die Wellenhöhe

A = 2 m

und die Wellenlänge

λ = 100 m


a)	Welcher Wellentyp liegt vor?
b)	Wie groß ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellen?
c)	Welche maximale Leistung kann das Kraftwerk haben?


a)	Kriterien für Wellentypen	$\frac{1}{2} λ = 50 m$ und $\frac{1}{20} λ = 5 m$
		$200 m > 50 m \to Tiefwasserwellen$
b)	Wellengeschwindigkeit	$c = \sqrt{\frac{g λ}{2 π}} = 12,5 \frac{m}{s}$
c)	Wellenleistung	$P = \frac{ρ g}{16} c A^{2} L = 30,6 M W$

Ebene Schallwellen (+)
Im physikalischen Sinn bedeuten Schallwellen die Ausbreitung von kleinen Druck- bzw. Dichteschwankungen in einem deformierbaren (kompressiblen) Medium. Es handelt sich um longitudinale Wellen, da die Auslenkung der Partikel in Ausbreitungsrichtung erfolgt. Als Medium kommen Gase, Flüssigkeiten und Festkörper in Frage, die je nach Beschaffenheit eine unterschiedliche Schallgeschwindigkeit besitzen.

Ausbreitung einer ebenen Schallwelle in einer Luftsäule

././Physikkurs/wellen_wellenarten/images/wellenarten05.png

Abbildung 8.1.159: Ausbreitung einer ebenen Schallwelle in einer Luftsäule (C)

Bei einer punktförmigen Schallquelle breitet sich der Schall eigentlich kugelförmig aus. In der geometrischen Akustik stellt man sich vor, dass die Quelle in alle Richtungen 1-dim. Schallstrahlen aussendet. Die Wechselgrößen an einer festen Position

x_{0}

(s.u.) sind dabei den Umgebungsgrößen überlagert (

v_{0}

Windgeschwindigkeit,

p_{atm}

atmosphärischer Druck):

Physikalische Größen im Schallfeld


Wechselgrößen:		Absolute Größen:
Auslenkung	$ξ (t)$ ( $m$ )	Position	$x_{t} = x_{0} + ξ (t)$
Schallschnelle	$v (t) = \frac{d ξ}{d t}$ ( $\frac{m}{s}$ )	Geschwindigkeit	$v_{t} (t) = v_{0} + v (t)$
Schalldruck	$p (t)$ ( $P a$ )	Druck	$p_{t} (t) = p_{atm} + p (t)$

Welleneigenschaften


Wellenfunktion	$p (x, t) = \hat{p} \cos (k x \pm ω t)$	$v (x, t) = \hat{v} \cos (k x \pm ω t)$
Effektivwerte	$p_{eff} = \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{p}$	$v_{eff} = \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{v}$
Zusammenhang der Schallgrößen	$p (t) = Z_{0} v (t)$
Schallgeschwindigkeit	$c = \sqrt{K / ρ}$ ( $\frac{m}{s}$ )
in (idealen) Gasen	$K = κ R_{i} T ρ$	$c = \sqrt{κ R_{i} T}$ ( $\frac{m}{s}$ )
in Flüssigkeiten	$K = 1 / χ$
in Festkörpern	$K = E$


mit	$K$	Kompressionsmodul $(P a = N / m^{2})$	$K_{Wasser} = 2 G P a$
	$ρ$	Dichte des Mediums $(k g / m^{3})$
	$κ$	Adiabatenexponent $(-)$	$κ_{Luft} = 1,4$
	$R_{i}$	Spezifische Gaskonstante $(J / (k g K))$	$R_{Luft} = 287 J / (k g K)$
	$T$	Temperatur $(K)$
	$χ$	Kompressibilität $(1 / P a)$	$χ_{Wasser} = 0,51 \frac{1}{G P a}$
	$E$	Elastizitätsmodul $(P a)$	$E_{Stahl} = 210 G P a$

Wellenwiderstand im Ausbreitungsmedium

Z_0 = \rho_0 c

Schallkennimpedanz in einem Medium (Widerstand gegen die Schallwellenausbreitung)


in Luft bei $20^{\circ} C$	$Z_{0, L} = 415 \frac{N s}{m^{3}}$
in Wasser bei $20^{\circ} C$	$Z_{0, W} = 1,48 \cdot 10^{6} \frac{N s}{m^{3}}$

Wellenleistung (bei ebenen fortschreitenden Wellen)
Schallleistung

P=\frac{1}{2}(\omega \hat{\xi})^2 \rho_0 S = v_{\text{eff}}^2 Z_0 S = \frac{p_{\text{eff}}^2}{Z_0}S \;(\MEinheit[]{W})


mit	$S$	vom Schall durchflossene Fläche $(m^{2})$

Der Schalldruck ist die wichtigste Schallgröße, da er gut wahrnehmbar (mittels Trommelfell im menschlichen Ohr) und messbar (Mikrofon) ist. Da sich die Werte des Schalldruckes je nach Schallquelle um viele Größenordnungen unterscheiden können, ist die Verwendung einer logarithmischen Skala bzw. das Einführen eines Schalldruckpegels sinnvoll:

Definition


Schalldruckpegel	$L_{p} = 10 \log ({(\frac{p_{eff}}{p_{0}})}^{2}) = 20 \log (\frac{p_{eff}}{p_{0}}) (d B)$
Bezugsschalldruck	$p_{0} = 2 \cdot 10^{- 5} P a$	(Hörschwelle)

Hinweis

Der Bezugsschalldruck beschreibt die Hörschwelle bei der Frequenz $f = 1 k H z$ . Das menschliche Ohr kann Schall im Bereich von $20 H z$ bis $20 k H z$ wahrnehmen.
Die Basis 10 wurde gewählt, da so ein Unterschied von $1 d B$ im Schalldruckpegel von zwei Schallereignissen gerade noch hörbar ist.

Tabelle für charakteristische Schalldruckwerte und -pegel


$p_{2} / p_{1}$	$L_{p} = 20 \log (\frac{p_{2}}{p_{1}})$
$\sqrt{2} : 1$	$3 d B$
$2 : 1$	$6 d B$
$3 : 1$	$10 d B$
$5 : 1$	$14 d B$
$10 : 1$	$20 d B$

Der Hörbereich bezeichnet den Frequenz- und Pegelbereich, den ein Mensch wahrnehmen kann. Der Bereich ist nach unten durch die Hörschwelle und nach oben durch die Schmerzgrenze beschränkt. Sowohl Hörschwelle als auch Schmerzgrenze sind frequanzabhänig. Die folgende Abbildung zeigt beispielhaft den Hörbereich des Menschen.

././Physikkurs/wellen_wellenarten/images/wellenarten06.png

Abbildung 8.1.160: Hörbereich des Menschen. Rot markiert

f = 1 k H z

., der Frequenz des Bezugsschalldrucks. (C)

Beispiel 8.1.16
Berechnen Sie die Schallschnelle und Partikelauslenkung für den gegebenen Schalldruck. Gegeben:

f = 1 k H z,

ρ_{0} = 1,226 k g / m^{3},

c = 340 m / s .

Schalldruck eines Presslufthammers:

p_{eff} = 2 P a


Zusammenhang Schalldruck und -schnelle	$v_{eff} = \frac{p_{eff}}{Z_{0}} = \frac{p_{eff}}{ρ_{0} c}$
Partikelgeschwindigkeit	$v_{eff} = 4,8 \cdot 10^{- 3} \frac{m}{s}$
Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit und Auslenkung (für harmonische Wellen)	$ξ (t) = \hat{ξ} \sin (ω t)$
$v (t) = \frac{d ξ}{d t}$ $ = ω \hat{ξ} \cos (ω t)$ $ = \hat{v} \cos (ω t)$	$\hat{ξ} = \frac{1}{ω} \hat{v}$ bzw. $ξ_{eff} = \frac{1}{ω} v_{eff}$
Partikelauslenkung (mit $ω = 2 π f = 2000 π$ )	$ξ_{eff} = 7,64 \cdot 10^{- 7} m$

Beispiel 8.1.17


a)	Ein Disko-Lautsprecher erzeugt den Schalldruck $p = 5 P a$ . Wie groß ist der entsprechende Schalldruckpegel?
b)	LKW 1 erzeugt einen Schalldruck, der doppelt so groß ist wie der von LKW 2. Wie groß ist der Unterschied der Schalldruckpegel?
c)	Der durchschnittliche Schalldruckpegel an einer Hauptstraße ist $L_{p} = 100 d B$ . Bestimmen Sie den entsprechenden Schalldruck.
d)	Der Schalldruckpegel eines Lautsprechers wird um $20 d B$ reduziert. Wie groß ist das Verhältnis der Schalldrücke zwischen den beiden Zuständen?


a)	Schalldruckpegel:	$L_{p} = 20 \log (\frac{5}{2 \cdot 10^{- 5}}) = 108 d B$
b)	Pegelunterschied:	$Δ L_{p} = 20 \log (\frac{p_{1}}{p_{2}}) = 20 \log (2) = + 6 d B$
c)	Schalldruck:	$p = 10^{\frac{L_{p}}{20}}$ $p_{0} = 10^{5} \cdot 2 \cdot 10^{- 5} = 2 P a$
d)	Schalldruckverhältnis:	$\frac{p_{2}}{p_{1}} = 10^{\frac{- 20}{20}} = 0,1$ bzw. $p_{2} : p_{1} = 1 : 10$

Elektromagnetische Wellen (+)
Eine elektromagnetische Welle besteht aus sich gegenseitig induzierenden elektrischen und magnetischen Feldern. Beide Felder ändern sich gleichphasig und die Feldvektoren stehen aufeinander senkrecht. Elektromagnetische Strahlung setzt sich aus vielen elektromagn. und transversalen Wellen zusammen, deren Feldvektoren in der Regel in alle Richtungen statistisch verteilt sind (unpolarisierte Strahlung). Sie entstehen z.B. bei der Beschleunigung von freien elektrischen Ladungen.
Mögliche Quellen von im Alltag relevanter Strahlung können sein:


Wellentyp	Entstehung durch
$\to$ Radio- bzw. Funkwellen	Oszillation makroskopischer Ströme in Antennen (z.B. Hertz’scher Dipol)
$\to$ Licht	Sprünge von elektrischen Ladungen in versch. Energieniveaus innerhalb eines Atoms
$\to$ Röntgenstrahlung	Abbremsen von Elektronen beim Eintritt in ein Metall
$\to$ Thermische Strahlung	Thermisch angeregte Bewegung von Ladungen innerhalb eines Moleküls

Welleneigenschaften


Wellenfunktion	$E (x, t) = \hat{E} \sin (k x \pm ω t)$	$B (x, t) = \hat{B} \sin (k x \pm ω t)$
Ausbreitungsrichtung	$\vec{E} \times \vec{B}$ Kreuzprodukt
Zusammenhang der Feldstärken	$E = \frac{Z_{0}}{μ_{0}} B$	$Z_{0}$ Wellenwiderstand (s.u.)
Lichtgeschwindigkeit (im Vakuum)	$c = \frac{1}{\sqrt{μ_{0} ε_{0}}}$	$2,997 924 58 \cdot 10^{8} \frac{m}{s}$ $ \approx 3 \cdot 10^{8} \frac{m}{s}$
Strahlungsleistung	$P = \frac{\hat{E} \hat{B}}{2 μ_{0}} S (W)$	(eines Strahlers mit der Oberfläche $S$ )


mit	$\vec{E}$	Elektrische Feldstärke	$(V / m)$
	$\vec{B}$	Magnetische Flussdichte	$(T = V s / m^{2})$
	$μ_{0}$	Magn. Feldkonstante	( $12,566 \cdot 10^{- 7} N / A^{2}$ )
	$ε_{0}$	Elektr. Feldkonstante	( $8,854 \cdot 10^{- 12} A s / (V m)$ )

Wellenwiderstand im Ausbreitungsmedium


$Z_{0} = μ_{0} c = 377 Ω$	Wellenimpedanz im Vakuum (Widerstand gegen die Wellenausbreitung)
$Z_{i} = μ_{0} μ_{r, i} c_{i}$	in einem Medium $i$ mit der relativen Dielektrizitätszahl (bzw. Permittivität) $ε_{r, i}$ und relativen Permeabilität $μ_{r, i}$
$c_{i} = \frac{c}{\sqrt{ε_{r, i} μ_{r, i}}}$	Ausbreitungsgeschwindigkeit im Medium

Spektrum der elektromagnetischen Strahlung

././Physikkurs/wellen_wellenarten/images/wellenarten07.png

Abbildung 8.1.161: Spektrum der elektromagnetischen Strahlung (C)

Entstehung einer elektromagnetischen Welle im Hertz’schen Dipol
Durch die periodische Auf-und-ab-Bewegung von Elektronen in einem Leiter (Dipol) werden direkt am Dipol (Nahfeld) ein elektrisches (

E

) und ein um

90^{\circ}

phasenverschobenes magnetisches Feld (

B

) erzeugt. Die Feldvektoren stehen immer aufeinander senkrecht. Sobald sich die elektrischen Felder ablösen und geschlossene Feldlinien bilden (Fernfeld), breitet sich eine elektromagnetische Welle in beide Richtungen aus, deren Felder jetzt phasengleich schwingen:

././Physikkurs/wellen_wellenarten/images/wellenarten08.png

Abbildung 8.1.162: Entstehung einer elektromagnetischen Welle im Hertz’schen Dipol (C)

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2 Eingangstests

3 Grundlagen

4 Mechanik

5 Elektromagnetismus

6 Optik

7 Wärmelehre

8 Wellen

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8.1.3 Verschiedene Wellenarten