8.1.3 Verschiedene Wellenarten



 

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Eindimensionale Festkörperwellen
In einem langen dünnen Stab können sich Wellen transversal oder longitudinal ausbreiten. Sein Durchmesser d muss deutlich kleiner als die Wellenlänge der durchlaufenden Welle sein, damit die Querkontraktion vernachlässigt werden kann.
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Abbildung 8.1.150: Welle in langem dünnem Stab (C)

Welleneigenschaften (longitudinal und transversal)
Wellenfunktion

y(x,t)=A·sin(kx±ωt).

Die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Wellen in Festkörpern (hier: langer dünner Stab) hängt von den elastischen Materialeigenschaften und der Dichte ab.

Langer dünner Stab:

c=G/ρ  (m/s)   (transversal)

mit G Schubmodul   (N/m2 )
ρ Materialdichte   (kg/m3 )


c=E/ρ   (longitudinal)

mit E Elastizitätsmodul   (N/m2 )
Wellenleistung:

P= 1 2 ρc ω2 A2   (W)

Analog gilt für die Ausbreitungsgeschwindigkeit in einem gespannten Seil:
Gespanntes Seil / Saite:

c= F s /μ  (m/s)   (transversal)

mit F s Spannkraft   (N)
μ=m/L Massendichte (Masse pro Länge)   (kg/m)
Wellenleistung:

P= 1 2 μc ω2 A2   (W)

 

Oberflächenwellen in Wasser
Die Form und Ausbreitungsgeschwindigkeit von Oberflächenwellen in Wasser hängen im Wesentlichen von der Art der Anregung, der Wellenlänge und der Wassertiefe ab. Die Wellenbewegung ist eine Kombination aus Transversal- und Longitudinalbewegung. Zwei wichtige Wellentypen entstehen unter dem Einfluss der Schwerkraft (Schwerewellen):
Tiefwasserwellen h> 1 2 λ
Die Wellenform ähnelt einer Trochoide (bzw. Zykloide, Abrollkurve eines Punktes auf einer rotierenden Scheibe).

Die Wasserteilchen führen eine kreisförmige Bewegung aus
././Physikkurs/wellen_wellenarten/images/wellenarten02.png (C)  
Flachwasserwellen h< 1 20 λ
Die Wellenform kann durch eine Sinusform angenähert werden.

Die Wasserteilchen führen eine ellipsenförmige Bewegung aus (bei extrem flachem Wasser fast nur horizontal)
././Physikkurs/wellen_wellenarten/images/wellenarten03.png (C)  
Welleneigenschaften
Wellenfunktion (Flachwasserwelle)

y(x,t)=A·sin(kx±ωt)

Ausbreitungsgeschwindigkeit
Tiefwasser c= gλ 2π   ( m s ) h> 1 2 λ
Flachwasser c=gh   ( m s ) h< 1 20 λ
Wellenleistung P= ρg 16 c A2 L   (W) (nur Tiefwasserwellen)
mit h Wassertiefe   (m)
g Erdbeschleunigung   (m/s2 )
λ Wellenlänge   (m)
ρ Wasserdichte   (kg/m3 )
Relative Amplitude von Wasserwellen
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Abbildung 8.1.153: Relative Amplitude von Wasserwellen (C)

Beispiel 8.1.9  
Ein Wellenkraftwerk soll längs eines 1km langen Küstenstreifens aufgebaut werden. Die Wassertiefe ist h=200m, die Wellenhöhe A=2m und die Wellenlänge λ=100m.
 
a) Welcher Wellentyp liegt vor?
b) Wie groß ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellen?
c) Welche maximale Leistung kann das Kraftwerk haben?
 


 

Ebene Schallwellen (+)
Im physikalischen Sinn bedeuten Schallwellen die Ausbreitung von kleinen Druck- bzw. Dichteschwankungen in einem deformierbaren (kompressiblen) Medium. Es handelt sich um longitudinale Wellen, da die Auslenkung der Partikel in Ausbreitungsrichtung erfolgt. Als Medium kommen Gase, Flüssigkeiten und Festkörper in Frage, die je nach Beschaffenheit eine unterschiedliche Schallgeschwindigkeit besitzen.

Ausbreitung einer ebenen Schallwelle in einer Luftsäule
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Abbildung 8.1.154: Ausbreitung einer ebenen Schallwelle in einer Luftsäule (C)

Bei einer punktförmigen Schallquelle breitet sich der Schall eigentlich kugelförmig aus. In der geometrischen Akustik stellt man sich vor, dass die Quelle in alle Richtungen 1-dim. Schallstrahlen aussendet. Die Wechselgrößen an einer festen Position x0 (s.u.) sind dabei den Umgebungsgrößen überlagert ( v0 Windgeschwindigkeit, p atm atmosphärischer Druck):
Physikalische Größen im Schallfeld
Wechselgrößen: Absolute Größen:
Auslenkung ξ(t)   ( m) Position xt = x0 +ξ(t)
Schallschnelle v(t)= dξ dt   ( m s ) Geschwindigkeit vt (t)= v0 +v(t)
Schalldruck p(t)   ( Pa) Druck pt (t)= p atm +p(t)
Welleneigenschaften
Wellenfunktion p(x,t)= p ^ cos(kx±ωt) v(x,t)= v ^ cos(kx±ωt)
Effektivwerte p eff = 1 2 p ^ v eff = 1 2 v ^
Zusammenhang der Schallgrößen p(t)= Z0 v(t)
Schallgeschwindigkeit c=K/ρ   ( m s )
in (idealen) Gasen K=κ R i Tρ c=κ R i T   ( m s )
in Flüssigkeiten K=1/χ
in Festkörpern K=E
mit K Kompressionsmodul   (Pa=N/m2 ) K Wasser =2GPa
ρ Dichte des Mediums   (kg/m3 )
κ Adiabatenexponent   (-) κ Luft =1,4
R i Spezifische Gaskonstante   (J/(kgK)) R Luft =287J/(kgK)
T Temperatur   (K)
χ Kompressibilität   (1/Pa) χ Wasser =0,51 1 GPa
E Elastizitätsmodul   (Pa) E Stahl =210GPa
Wellenwiderstand im Ausbreitungsmedium


Z0 = ρ0 c

Schallkennimpedanz in einem Medium (Widerstand gegen die Schallwellenausbreitung)
in Luft bei 20 C Z0, L =415 Ns m3
in Wasser bei 20 C Z0, W =1,48· 106 Ns m3
Wellenleistung (bei ebenen fortschreitenden Wellen)
Schallleistung

P= 1 2 (ω ξ ^ )2 ρ0 S= v eff 2 Z0 S= p eff 2 Z0 S  (W)

mit S vom Schall durchflossene Fläche   (m2 )
Der Schalldruck ist die wichtigste Schallgröße, da er gut wahrnehmbar (mittels Trommelfell im menschlichen Ohr) und messbar (Mikrofon) ist. Da sich die Werte des Schalldruckes je nach Schallquelle um viele Größenordnungen unterscheiden können, ist die Verwendung einer logarithmischen Skala bzw. das Einführen eines Schalldruckpegels sinnvoll:
Definition
Schalldruckpegel Lp =10log( ( p eff p0 )2 )=20log( p eff p0 )  (dB)
Bezugsschalldruck p0 =2· 10-5 Pa (Hörschwelle)
Hinweis
  • Der Bezugsschalldruck beschreibt die Hörschwelle bei der Frequenz f=1kHz. Das menschliche Ohr kann Schall im Bereich von 20Hz bis 20kHz wahrnehmen.

  • Die Basis 10 wurde gewählt, da so ein Unterschied von 1dB im Schalldruckpegel von zwei Schallereignissen gerade noch hörbar ist.

Tabelle für charakteristische Schalldruckwerte und -pegel
p2 / p1 Lp =20log( p2 p1 )
2:1 3dB
2:1 6dB
3:1 10dB
5:1 14dB
10:1 20dB
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Abbildung 8.1.155: Wahrnehmung der Lautstärke (C)

Beispiel 8.1.10  
Berechnen Sie die Schallschnelle und Partikelauslenkung für den gegebenen Schalldruck. Gegeben: f=1kHz , ρ0 =1,226kg/m3 , c=340m/s . Schalldruck eines Presslufthammers: p eff =2Pa
 
Beispiel 8.1.11  
a) Ein Disko-Lautsprecher erzeugt den Schalldruck p=5Pa. Wie groß ist der entsprechende Schalldruckpegel?
b) LKW 1 erzeugt einen Schalldruck, der doppelt so groß ist wie der von LKW 2. Wie groß ist der Unterschied der Schalldruckpegel?
c) Der durchschnittliche Schalldruckpegel an einer Hauptstraße ist Lp =100dB. Bestimmen Sie den entsprechenden Schalldruck.
d) Der Schalldruckpegel eines Lautsprechers wird um 20dB reduziert. Wie groß ist das Verhältnis der Schalldrücke zwischen den beiden Zuständen?
 


 

Elektromagnetische Wellen (+)
Eine elektromagnetische Welle besteht aus sich gegenseitig induzierenden elektrischen und magnetischen Feldern. Beide Felder ändern sich gleichphasig und die Feldvektoren stehen aufeinander senkrecht. Elektromagnetische Strahlung setzt sich aus vielen elektromagn. und transversalen Wellen zusammen, deren Feldvektoren in der Regel in alle Richtungen statistisch verteilt sind (unpolarisierte Strahlung). Sie entstehen z.B. bei der Beschleunigung von freien elektrischen Ladungen.
Mögliche Quellen von im Alltag relevanter Strahlung können sein:
Wellentyp Entstehung durch
Radio- bzw. Funkwellen Oszillation makroskopischer Ströme in Antennen (z.B. Hertz’scher Dipol)
Licht Sprünge von elektrischen Ladungen in versch. Energieniveaus innerhalb eines Atoms
Röntgenstrahlung Abbremsen von Elektronen beim Eintritt in ein Metall
Thermische Strahlung Thermisch angeregte Bewegung von Ladungen innerhalb eines Moleküls
Welleneigenschaften
Wellenfunktion E(x,t)= E ^ sin(kx±ωt) B(x,t)= B ^ sin(kx±ωt)
Ausbreitungsrichtung E × B Kreuzprodukt
Zusammenhang der Feldstärken E= Z0 μ0 B Z0 Wellenwiderstand (s.u.)
Lichtgeschwindigkeit (im Vakuum) c= 1 μ0 ε0 2,99792458· 108 m s 3· 108 m s
Strahlungsleistung P= E ^ B ^ 2 μ0 S  (W) (eines Strahlers mit der Oberfläche S)
mit E Elektrische Feldstärke (V/m)
B Magnetische Flussdichte (T=Vs/m2 )
μ0 Magn. Feldkonstante ( 12,566· 10-7 N/A2 )
ε0 Elektr. Feldkonstante ( 8,854· 10-12 As/(Vm))
Wellenwiderstand im Ausbreitungsmedium
Z0 = μ0 c=377Ω Wellenimpedanz im Vakuum (Widerstand gegen die Wellenausbreitung)
Zi = μ0 μ r ,i ci in einem Medium i mit der relativen Dielektrizitätszahl (bzw. Permittivität) ε r ,i und relativen Permeabilität μ r ,i
ci = c ε r ,i μ r ,i Ausbreitungsgeschwindigkeit im Medium
Spektrum der elektromagnetischen Strahlung
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Abbildung 8.1.156: Spektrum der elektromagnetischen Strahlung (C)

Entstehung einer elektromagnetischen Welle im Hertz’schen Dipol
Durch die periodische Auf-und-ab-Bewegung von Elektronen in einem Leiter (Dipol) werden direkt am Dipol (Nahfeld) ein elektrisches ( E) und ein um 90 phasenverschobenes magnetisches Feld ( B) erzeugt. Die Feldvektoren stehen immer aufeinander senkrecht. Sobald sich die elektrischen Felder ablösen und geschlossene Feldlinien bilden (Fernfeld), breitet sich eine elektromagnetische Welle in beide Richtungen aus, deren Felder jetzt phasengleich schwingen:
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Abbildung 8.1.157: Entstehung einer elektromagnetischen Welle im Hertz’schen Dipol (C)