2. Mechanik
  3. Drehbewegungen
  4. Ausgedehnte Körper (*)

4.5.3 Drehbewegungen ausgedehnter Körper





 

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Dieses Thema wird in der Schule meist nicht behandelt. Die folgende kurze Zusammenfassung kann aber dennoch eine nützliche Vorbereitung auf die Behandlung des Themas im Studium darstellen.
Video 38: Der Schwerpunkt (C) .

Bei den Kreisbewegungen wurde die Bewegung eines Massenpunktes auf einer Kreisbahn untersucht. Nun stellt man sich vor, dass ein ausgedehnter Körper aus vielen Massenpunkten zusammengesetzt ist. Damit besteht seine Drehbewegung aus vielen Kreisbewegungen einzelner Massenpunkte, die sich alle um eine gemeinsame Achse drehen.  

Schwerpunkt (*)
Man stelle sich modellhaft vor, ein ausgedehnter Körper sei aus vielen einzelnen Massenpunkten mi zusammengesetzt. Jeder dieser Massenpunkte hat eine individuelle Position innerhalb des Körpers, die man mit Hilfe eines Ortsvektors r → i in einem kartesischen Koordinatensystem beschreiben kann. 
Sucht man unabhängig von der Masse der einzelnen Massenpunkte den geometrischen Mittelpunkt des ausgedehnten Körpers, kann man ihn als Mittelwert aller Ortsvektoren betrachten, d.h. man addiert alle Ortsvektoren und dividiert die Summe durch die Anzahl n der Vektoren:
 
r → M = r → 1 + r → 2 +⋯+ r → n n ​ = 1 n ∑i=1 n r → i  .
 
Nun können aber die einzelnen Punkte verschiedene Massen haben. Dann ist der räumliche Mittelpunkt nicht unbedingt gleich dem Mittelpunkt der Massenverteilung. Um dies zu berücksichtigen, multipliziert man jeden Ortsvektor mit der dazugehörigen Masse mi , führt anschließend die Summation durch und dividiert durch die Gesamtmasse m ges . So erhält man ein mit der Massenverteilung gewichtetes Mittel der Ortsvektoren. Dieser Ortsvektor bezeichnet den sogenannten Schwerpunkt oder Massenmittelpunkt:
 
r → S = m1 r → 1 + m2 r → 2 +⋯+ mn r → n m1 + m2 +⋯+ mn ​ = ∑i=1 n mi r → i ∑i=1 n mi = 1 m ges ∑i=1 n mi r → i  .
 
Dabei ist m ges = ∑i mi die Gesamtmasse des ausgedehnten Körpers.
Unterstützt man den Körper in einem homogenen Schwerefeld genau in seinem Schwerpunkt, befindet sich der Körper im Gleichgewicht und kippt nicht. Auch für die allgemeine Betrachtung von Bewegungen ausgedehnter Körper spielt der Schwerpunkt eine wichtige Rolle, denn Bewegungen können in besonders einfacher Weise als Kombination einer Translationsbewegung des Körperschwerpunkts mit einer Rotationsbewegung des Körpers um eine Achse durch seinen Schwerpunkt dargestellt werden.

Beispiel 4.5.17  
Ein Elternpaar möchte für seine zwei Kinder eine Wippe konstruieren, auf der diese ausbalanciert sitzen können. Eines der Kinder ist doppelt so schwer wie das andere, dessen Masse mit m K bezeichnet sei. Wo muss der Drehpunkt der Wippe liegen? Die Länge der Wippe sei 3 m, die Masse der Wippe sei zu vernachlässigen.  
Für die Berechnung des Schwerpunktes sucht man sich eine geschickte Lage des gedachten kartesischen Koordinatensystems. Legt man den Koordinatenursprung z.B. in das schwerere der beiden Kinder, lässt sich die Lage des Schwerpunkts lS wie folgt berechnen:
 
lS = 2 m K ·0 m+ m K ·3 m 2 m K + m K ​ = m K ·3 m m K ·3 =1 m .
 
Dies ist der Abstand zwischen dem Koordinatenursprung und dem Schwerpunkt, hier also der Abstand zwischen dem schwereren Kind und dem Schwerpunkt. Wenn das schwerere Kind mit Masse 2 m K einen halb so großen Abstand vom Drehpunkt hat wie das leichtere Kind mit Masse m K , ist die Wippe im Gleichgewicht.


Video 39: Rotationsenergie (C) .

 

Rotationsenergie (*)
Bewegt sich ein Körper, so hat er kinetische Energie. Die Berechnung der kinetischen Energie bei Parallelverschiebungen (auch Translationen genannt), wovon geradlinige Bewegungen eine Teilmenge bilden, kennen wir bereits:

E kin,trans = 1 2 m v2  .

Wenn ein Massenpunkt sich auf einer Kreisbahn bewegt, können wir für v die Bahngeschwindigkeit v=ωr einsetzen und erhalten die kinetische Energie des Massenpunktes auf der Kreisbahn:

E kin,rot = 1 2 m(ωr )2 = 1 2 m r2 · ω2  .

Diese spezielle Form der kinetischen Energie wird als Rotationsenergie bezeichnet.  
Wie weiter oben erläutert wurde, kann man die Bewegung eines Körpers beschreiben als die Kombination aus einer Translationsbewegung des Schwerpunktes und einer Rotation des Körpers um eine Achse durch den Schwerpunkt. Dementsprechend setzt sich die gesamte kinetische Energie zusammen aus der Translationsenergie des Schwerpunktes und der Rotationsenergie des Körpers. In aller Regel verwendet man die verkürzten Schreibweisen E trans und E rot und bezeichnet die gesamte kinetische Energie als E kin :

E kin = E trans + E rot = 1 2 m v S 2 + E rot  ,

wobei v S die Geschwindigkeit des Schwerpunkts darstellt.
Hinweis: In der Literatur wird das Symbol E kin unterschiedlich verwendet. Teilweise steht E kin wie in der obigen Gleichung für die gesamte kinetische Energie einschließlich der Rotationsenergie. Manchmal steht das Symbol jedoch auch direkt für die Translationsenergie, d.h. anstelle von E trans . Als Leser muss man also genau hinschauen, was im konkreten Fall mit E kin gemeint ist!

Nach Aufteilung der Bewegung eines Körpers in eine Translations- und eine Rotationsbewegung gibt die Rotationsenergie den Teil der kinetischen Energie eines Körpers an, der aus der Drehung um seinen Schwerpunkt resultiert. Jeder Massenpunkt des Körpers trägt zu dieser Energie bei.
Bei einer Drehbewegung mit der Winkelgeschwindigkeit ω besitzt der Massenpunkt i die Geschwindigkeit vi :

vi =ω ri  ,

wobei die ri die Abstände der Massenpunkte von der Drehachse sind. Jeder einzelne Massenpunkt hat die Rotationsenergie

E rot ,i = 1 2 mi ri 2 · ω2  .

Die gesamte Rotationsenergie erhält man, wenn man die kinetischen Energien aller Massenpunkte summiert:
 
E rot = ∑i E rot ,i   ​ = ∑i 1 2 mi ω2 ri 2   ​ = 1 2 ( ∑i mi ri 2 ) ω2  .
 
Offenbar trägt ein Massenpunkt umso mehr zur Rotationsenergie bei, je größer sein Abstand zur Drehachse ist.

Beispiel 4.5.18  
Wir betrachten den Unterschied zwischen einem Hohlzylinder, bei dem die Massenpunkte gleichmäßig auf dem Zylindermantel liegen, und einem Vollzylinder, bei dem die Massenpunkte homogen im Volumen des Zylinders verteilt sind. Bei identischer Masse und gleicher Rotationsgeschwindigkeit besitzt der Hohlzylinder eine größere Rotationsenergie als der Vollzylinder. Denn beim Hohlzylinder haben alle Massenpunkte denselben Abstand zur Drehachse, nämlich den Zylinderradius R, während beim Vollzylinder die Abstände kleiner oder gleich R sind. Daher rollt ein Vollzylinder schneller eine schiefe Ebene herunter als ein Hohlzylinder. Beim Herabrollen wird potentielle Energie in kinetische Energie umgewandelt. Dies führt beim Vollzylinder zu einer größeren Rotationsgeschwindigkeit als beim Hohlzylinder.


Video 40: Das Trägheitsmoment (C) .

 

Das Trägheitsmoment (*)
Für die in der Berechnung von E rot auftretende Summe führt man eine eigene physikalische Größe ein, das Trägheitsmoment I:

I= ∑i mi ri 2  .

Die Rotationsenergie ist dann durch folgende einfache Formel gegeben:

E rot = 1 2 I ω2  .

Diese Formel gilt nicht nur für Massenpunkte, sondern auch für sich drehende ausgedehnte Körper.
Die Formel weist Analogie zur kinetischen Energie der Translation auf. Das Trägheitsmoment I entspricht der Masse m, die Winkelgeschwindigkeit ω der Geschwindigkeit v. Das Trägheitsmoment übernimmt bei Rotationsbewegungen also eine Funktion, die vergleichbar ist zur Bedeutung der trägen Masse in der Translationsbewegung. Das Trägheitsmoment beinhaltet die zusätzliche Information, welchen Abstand die Massenelemente zur Drehachse haben.

Trotz der Analogie von Masse und Trägheitsmoment gibt es auch wichtige Unterschiede zwischen diesen beiden Größen. Während die Masse eines Körpers unabhängig von seiner Bewegungsrichtung ist, kann das Trägheitsmoment I für ein und denselben Körper verschiedene typische Werte annehmen. Entscheidend ist hierbei die Position bzw. die Richtung der gewählten Drehachse. Betrachtet man z.B. einen langen dünnen Stab, ist dessen Trägheitsmoment bei einer Drehung um eine Achse, die zentral durch die Stabmitte entlang des Stabes verläuft, viel kleiner als bei einer Drehung um eine Achse senkrecht zum Stab.

 

Der Drehimpuls ausgedehnter Körper (*)
Das Trägheitsmoment wird auch benutzt, um den Drehimpuls ausgedehnter Körper zu berechnen. Als Drehimpuls Li eines Massenpunktes mi , der mit dem Abstand ri um eine Drehachse kreist, ergibt sich

Li = mi vi ri  .

Der Gesamtdrehimpuls eines ausgedehnten Körpers ergibt sich dann aus der Summe über die einzelnen Drehimpulse:
 
L= ∑i mi vi ri = ∑i mi ωi ri 2    ​ = ∑i mi ri 2 ω=Iω .
 
Die Beziehung ωi =ω folgt aus der Tatsache, dass alle Massenpunkte des Körpers die gleiche Winkelgeschwindigkeit bezüglich der Drehachse besitzen. Wie der Impuls ist auch der Drehimpuls eine Erhaltungsgröße. Dadurch entstehen einige interessante Phänomene. Diese werden in der Physik der Kreiselbewegungen erklärt, auf die wir hier aber nicht eingehen wollen.

Beispiel 4.5.19  
Bei den Pirouetten von Eiskunstläufern kann die Drehimpulserhaltung gut beobachtet werden. Wenn Eiskunstläufer eine Pirouette ansetzen, bringen sie sich durch eine Kurvenbahn langsam in Drehung. Dabei halten sie Arme und Beine in relativ großem Abstand zur Körperachse. Die Frequenz dieser Drehung können sie erhöhen, indem sie Arme und Beine zur Körperachse heranziehen. Dadurch reduzieren sie das Trägheitsmoment ihres Körpers, weil die Massenpunkte nun im Mittel näher zur Drehachse liegen. Wegen der Drehimpulserhaltung muss das reduzierte Trägheitsmoment durch eine vergrößerte Rotationsgeschwindigkeit kompensiert werden:

ausgestreckte Arme und Beine: L1 = I1 ω1  , angewinkelte Arme und Beine: L2 = I2 ω2  . Wegen der Drehimpulserhaltung gilt: L1 = L2  ⇒  ω2 = I1 I2 ω1  .



 

Das Bewegungsgesetz der Rotation für ausgedehnte Körper (*)
Das allgemein formulierte Bewegungsgesetz der Rotation kann auch auf den Fall des ausgedehnten Körpers angewendet werden. Allgemein gilt:

M → = d L → dt  .

Betrachten wir einen sich drehenden Körper. Wenn ein Drehmoment auf den Körper wirkt, beschleunigt oder bremst es die Drehbewegung. Steht das Drehmoment parallel zum Drehimpuls, erhält man:

M= d dt L= d dt (Iω)=I dω dt  .

Das Drehmoment bewirkt also eine Änderung der Winkelgeschwindigkeit.  

Vergleich zwischen Translation und Rotation (*)
Die folgende Tabelle stellt die Größen und Gleichungen für die Translationsbewegung von Massenpunkten den Größen und Beziehungen vergleichend gegenüber, die die Rotationsbewegung ausgedehnter Körpern bestimmen.  

 Translation    Rotation   
 Weg   s   Drehwinkel   φ 
 Geschwindigkeit   v   Winkelgeschwindigkeit   ω 
 Beschleunigung   a   Winkelbeschleunigung   α 
 Masse   m  Trägheitsmoment   I 
 Kinetische Energie   E kin = 1 2 m v2   Rotationsenergie   E rot = 1 2 I ω2  
 Impuls   p → =m v →   Drehimpuls   L → =I ω →  
 Kraft   F → =m a →   Drehmoment   M → =I α →  




Wenn im Aufgabentext nicht anders angegeben, geben Sie die Ergebnisse auf ganze Zahlen gerundet an. Bei Angaben in wissenschaftlicher Schreibweise (Exponentialschreibweise) runden Sie auf zwei Nachkommastellen.
Falls nicht anders angegeben, verwenden Sie g=9,81  m s2  .