3.1.3 Elektrische Arbeit, Potential und Spannung

 

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Video 218: Arbeit, Energie und Potential im elektrischen Feld, Teil 1 (C) .



 

Arbeit, Energie und Potential im elektrischen Feld (!)


Aus der Mechanik ist bekannt, dass Arbeit verrichtet wird, wenn man einen Körper von der Erdoberfläche aus nach oben transportiert, denn man muss die zwischen Erde und Körper wirkende Gravitationskraft überwinden. Gleichzeitig wird beim Anheben auch die potentielle Energie Epot (in der Schule gerne als Lageenergie bezeichnet) des Körpers erhöht.

Dieser Zusammenhang gilt auch für die Bewegung einer Ladung in einem elektrischen Feld. Bewegt man eine Probeladung q in einem E -Feld gegen die elektrische Kraft, so muss man ebenfalls Arbeit verrichten.

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Abbildung 1907: Skizze (C)



Arbeit zum Verschieben der positiven Ladung von a nach b:

W= r a r b F ·d s = r a r b (- F C )·d s =- r a r b q E ·d s = Epot ( r b )- Epot ( r a ).

Bringt man die Ladung aus dem Unendlichen, so ergibt sich für das Integral entlang eines radialen Strahls

W=-q r Eds=-q r 1 4π ε0 Q s2 ds=q [ 1 4π ε0 Q s ] r =q 1 4π ε0 Q r -0.

Daraus ergibt sich für die potentielle Energie am Ort r :
Potentielle Energie  


Epot ( r )=q 1 4π ε0 Q r .



Video 219: Arbeit, Energie und Potential im elektrischen Feld, Teil 2 (C) .



Die potentielle Energie der Ladung q am Ort r ist abhängig vom Feld und von der Ladung selbst. Teilt man die Energie durch die Ladung, erhält man das nur vom elektrischen Feld abhängige Potential φ( r ):
Elektrisches Potential  


φ( r )= Epot ( r ) q =- r Eds.



In der folgenden Simulation kann die Größe einer Punktladung Q eingestellt werden. Es werden dabei die elektrische Feldstärke E und das elektrische Potential φ in Abhängigkeit des Abstandes r von der Ladung dargestellt.

././Physikkurs/elektrisch_spannungpotential/images/geogebra_elektrisch_standbild6.png
Diese Interaktion wurde mit GeoGebra erstellt (www.geogebra.org)

Damit ergibt sich für die Verschiebearbeit

W=q( φb - φa ).

Im homogenen E -Feld ist der Betrag der elektrischen Feldstärke konstant: | E |=E= konstant. Die Arbeit für die Verschiebung gegen das Feld um die Strecke s beträgt

W=q·E·s.

Beispiel 3.1.31  
Welche Arbeit wird aufgewendet, um ein Elektron in einem elektrischen Feld mit einer Feldstärke von 1 V m einen Meter weit zu bewegen? Gegeben sei: q=e, s=1m, E= V m .



Video 220: Arbeit, Energie und Potential im elektrischen Feld, Beispiel (C) .



 

Elektrische Spannung (!)


Video 221: Die elektrische Spannung (C) .



Die Potentialdifferenz ( φb - φa ) ist die elektrische Spannung U:

U=( φb - φa )=- a b Eds= W q .

Diese Definition der Spannung gilt nicht nur für Punktladungen, sondern ist allgemeingültig.

Die Einheit der Spannung ist: [U]= J C = 1 C ·N·m=:V( Volt ).

Sie wurde benannt nach dem italienischen Physiker A. Volta (1745–1827), der als einer der ersten die elektrische Spannung beschrieb. Das Volt ist keine SI-Basiseinheit, sondern abgeleitet aus den Einheiten Joule und Coulomb.

Genau wie die mechanische Arbeit ist auch die elektrische Arbeit unabhängig vom genauen Verlauf des Weges. Die Arbeit hängt nur vom Anfangs- und Endpunkt ab.

Die potentielle Energie in der Elektrizitätslehre wird je nach Literatur auch als elektrische Energie Eel bezeichnet. Begegnet einem der Begriff „potentielle Energie“ im Zusammenhang mit elektrischen Feldern, muss man genau hinsehen, welche Energieform wirklich gemeint ist: die elektrische Energie oder die mechanische potentielle Energie. Auch darf man die potentielle Energie nicht mit dem „elektrischen Potential“ verwechseln.



Wenn im Aufgabentext nicht anders angegeben, geben Sie die Ergebnisse auf ganze Zahlen gerundet an. Bei Angaben in wissenschaftlicher Schreibweise (Exponentialschreibweise) runden Sie auf zwei Nachkommastellen.
Verwenden Sie e=1,602· 10-19 C und ε0 =8,854· 10-12 As Vm .




Details zum elektrischen Potential

Video 222: Das elektrische Potential: Erdung und Äquipotentialflächen (C) .



Die elektrische Spannung ist definiert als die Potentialdifferenz zwischen zwei Punkten P 1 und P 2 im Raum. Zur Erinnerung:

U=- P1 P2 E(s)ds=φ( P2 )-φ( P1 ).



Messen kann man nur Spannungen, also Potentialunterschiede!


Häufig wählt man den Bezugspunkt P1 so, dass φ( P1 )=0 gewählt werden kann. Ein solcher Bezugspunkt ist zum Beispiel die gesamte Erde, man spricht dann von „Erdpotential“ oder „erden“. Ein weiteres Beispiel hierfür wäre ein großer Körper aus Metall, der auch als „Masse“ bezeichnet wird. In beiden Fällen ist die Gesamtladung auf dem Körper so groß, dass durch das Hinzufügen oder Abfließen von Ladungen keine merkliche Änderung der Gesamtladung verursacht wird.

Ändert sich das Potential entlang eines Weges nicht, so gilt:

φ( P2 )=φ( P1 ).

Dann ist die Spannung U=φ( P2 )-φ( P1 )=0. Damit ist auch die geleistete Arbeit W=q·U=0. Linien und Flächen, auf denen sich das Potential nicht ändert, heißen Äquipotentiallinien bzw. Äquipotentialflächen. Sie stehen immer senkrecht zu den elektrischen Feldlinien. Für eine Punktladung zum Beispiel sind die Äquipotentialflächen Kugelflächen.

In der animierten Skizze in Abschnitt 3.1.2 können Sie sich Äquipotentiallinien bei zwei Punktladungen ansehen.

Video 223: Arbeit entlang eines geschlossenen Weges im el. Feld (C) .



 

Arbeit entlang eines geschlossenen Weges im elektrischen Feld (*)


Anhand der Beziehung zwischen Potential und Spannung sieht man auch, dass die Arbeit, die auf einem in sich geschlossenen Weg im elektrischen Feld geleistet wird, immer null sein muss. Betrachten wir dazu zunächst den folgenden Weg im elektrischen Feld einer Punktladung:

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Abbildung 1939: Skizze (C)



  • erstes Wegstück: antiparallel zu den Feldlinien von r2 nach r1 .
    Auf diesem Wegstück muss zur Überwindung der elektrischen Abstoßung Arbeit aufgewendet werden:

    W1 =-q· Q 4π ε0 ( 1 r2 - 1 r1 ).



  • zweites Wegstück: auf einer Äquipotentialfläche mit Radius r1 : Auf diesem Wegstück wird keine Arbeit verrichtet, W2 =0.

  • drittes Wegstück: parallel zu den Feldlinien von r1 nach r2 .
    Auf diesem Wegstück wird durch die abstoßende Kraft vom System Arbeit verrichtet, es wird Energie frei:

    W3 =-q· Q 4π ε0 ( 1 r1 - 1 r2 )=- W1 .



  • viertes Wegstück: auf einer Äquipotentialfläche mit Radius r2 zurück zum Ausgangspunkt: Auf diesem Wegstück wird keine Arbeit verrichtet, W4 =0.

Die gesamte entlang des geschlossenen Weges verrichtete Arbeit ist dann

Wges = W1 + W2 + W3 + W4 =0.



Verallgemeinern wir diese Betrachtung jetzt und berechnen die Arbeit entlang eines beliebigen geschlossenen Weges s , der vom Punkt P 1 zum Punkt P 2 und wieder zurück führt.

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Abbildung 1940: Skizze (C)



Wie wir gesehen haben, ist es egal, auf welcher Wegstrecke wir von P 1 nach P 2 gelangen. Wir können den geschlossenen Weg also aufteilen in zwei halbe Wegstrecken s 1 von P 1 nach P 2 und s 2 von P 2 nach P 1 .

Dann erhalten wir für die Arbeit:

W12 = -q P 1 P 2 E ( s )·d s =q(φ( P 2 )-φ( P 1 )), W21 = -q P 2 P 1 E ( s )·d s =q(φ( P 1 )-φ( P 2 ))=- W12 , Wges = W12 + W21 =0.

Das muss auch so sein, denn sonst könnte man durch das mehrfache Durchlaufen von geschlossenen Wegen in einem elektrischen Feld Energie erzeugen, was der Energieerhaltung widersprechen würde. Diese Beziehung gilt für jedes elektrische Feld, unabhängig von seiner genauen Form.



Video 224: Das Potential beliebiger Ladungsverteilungen (C) .



 

Das elektrische Potential beliebiger Ladungsverteilungen (*)


Das elektrische Potential, das durch eine beliebige Verteilung von Punktladungen an einem Ort erzeugt wird, kann einfach durch Addition der Potentiale der einzelnen Punktladungen berechnet werden. Man erhält für das Potential eine Funktion, die vom Ort abhängt. Punkte mit gleichem Potential bilden (zumeist gekrümmte) Flächen, die Äquipotentialflächen. Betrachtet man einen zweidimensionalen Schnitt, also z.B. die Verteilung des Potentials in der x- y-Ebene, so ergeben sich Äquipotentiallinien. Die Äquipontentiallinien stehen senkrecht auf den Feldlinien.

In der folgenden Simulation können Sie oben links zwei Punktladungen Q1 und Q2 in der x- y-Ebene verschieben. Außerdem kann jeweils die Größe der Ladungen eingestellt werden. Rechts wird das Potential der beiden Punktladungen dreidimensional dargestellt.

././Physikkurs/elektrisch_spannungpotential/images/geogebra_elektrisch_standbild7.png
Diese Interaktion wurde mit GeoGebra erstellt (www.geogebra.org)

Wir wissen, dass für das Coulomb-Potential gilt:



φ(r)= Q 4π ε0 · 1 r

Man sieht hier aber, dass es ein Problem gibt, denn das Potential wird unendlich groß, wenn der Radius r gegen Null geht. Dies wird in der GeoGebra-Animation durch die Polstellen angedeutet. Dieses Problem löste erst die Quantenmechanik im 20. Jahrhundert, und wir können uns im Rahmen dieses Kurses nicht näher damit befassen. In der Praxis ist die Punktladung immer auf der Oberfläche einer kleinen Kugel mit einem endlichen Radius aufgebracht, sodass man eine Spannung zwischen der Oberfläche der Kugel und einer äußeren Elektrode angeben kann.