4.1.3 Linsen und deren Abbildungen

 

Basiswissen „Die Lochkamera“


Mit Hilfe einer kleinen Öffnung, einer sog. Blende, kann man einen Gegenstand auf einem Schirm abbilden (siehe Abbildung unten). Hierzu betrachtet man diejenigen Lichtstrahlen, die ausgehend vom Gegenstand durch die Blende auf den Schirm gelangen. Im Vergleich zum ursprünglichen Körper steht das Bild auf dem Kopf und ist seitenverkehrt. Je kleiner die Blende ist, umso schärfer wird das Bild. Gleichzeitig gelangen weniger Lichtstrahlen durch die Blende, d.h. das Bild wird schwächer.
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Abbildung 1970: Abbildung einer Kerze durch eine Blende. Links ist die Blende klein und damit das Bild scharf. Rechts ist die Blende weit geöffnet. Dadurch wird das Bild unscharf, aber auch lichtstärker, d.h. es gelangt mehr Licht durch die Blende. (C)


Dieses Abbildungsprinzip liegt der Lochkamera zugrunde. Die Lochkamera besteht dabei aus einem Kasten oder einer Röhre. Auf der Vorderseite, d.h. der dem abzubildenden Gegenstand zugewandten Seite, befindet sich eine kleine Öffnung. Die Rückwand bildet ein transparenter Schirm, so dass man das Bild von außen beobachten kann.
Um eine gute, d.h. möglichst scharfe Abbildung zu erhalten, muss die Öffnung möglichst klein sein. Die Abbildung ist daher lichtschwach. Die seitlichen Wände schirmen das von der Seite einfallende Licht ab.
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Abbildung 1971: Prinzip einer Lochkamera (C)

Die Größe des Bildes hängt von der Länge der Lochkamera ( b) und dem Abstand der Öffnung zum abzubildenden Körper ( g) ab. Der Abbildungsmaßstab ist wie beim Schattenwurf durch das Verhältnis von Bildgröße B zu Gegenstandsgröße G bzw. Bildweite b zu Gegenstandsweite g gegeben:

A= B G = b g .

Eine Lochkamera kann also weit entfernte, große Gegenstände auf einen kleinen Schirm abbilden. Man braucht für die Abbildung allerdings lichtstarke Objekte.
Um auch lichtschwache Objekte abbilden zu können, braucht man eine Möglichkeit, die auseinanderlaufenden (divergenten) Strahlen hinter der Blende zu bündeln. Eine Richtungsänderung von Lichtstrahlen kann z.B. durch Brechung am Übergang zweier Medien erfolgen.

 

Basiswissen „Das Prisma“


Beim Durchgang eines Lichtstrahls durch ein planparalleles Glas erfolgt an jeder Grenzfläche eine Brechung. Das Endresultat ist ein Versatz des Lichtstrahls im Vergleich zum ursprünglichen Lichtstrahl:
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Abbildung 1972: Strahlversatz an planparallelen Flächen (C)


Für eine Bündelung braucht man daher einen Glaskörper, dessen Grenzflächen nicht parallel sind, z.B. ein Prisma (siehe Abbildung unten). Hier wird der Lichtstrahl ebenfalls zweimal gebrochen, einmal beim Eintritt in und einmal beim Austritt aus dem Glaskörper. Aufgrund des Winkels zwischen den Grenzflächen erfährt der ausgehende Lichtstrahl eine Winkeländerung im Vergleich zum einfallenden Lichtstrahl (siehe Abbildung unten), und zwar ist die Richtungsänderung umso größer, je größer der Scheitelwinkel des Prismas ist.
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Abbildung 1973: Ablenkung eines Lichtstrahls durch ein Prisma (C)


Für die Verbesserung der Abbildung nach dem Prinzip der Lochkamera benötigt man genau diese variable Richtungsänderung. Je weiter ein Lichtstrahl vom mittleren Lichtstrahl des Lichtbündels entfernt ist, umso stärker muss er in Richtung des mittleren Lichtstrahls abgelenkt werden.

 

Basiswissen „Die optische Linse“


Linsen bestehen aus einem lichtbrechenden Material, z.B. Glas. Sie sind so geformt, dass die Ablenkung des Lichts aus der ursprünglichen Richtung umso stärker ist, je weiter von der optischen Achse der Linse entfernt ein Lichtstrahl diese durchläuft. Auf der optischen Achse der Linse wird der Lichtstrahl gar nicht abgelenkt. Die bekanntesten Formen von Linsen sind die sphärischen Linsen, die von zwei Kugeloberflächen begrenzt sind. Hier wirken konvexe Formen, die an der optischen Achse dicker als am Rand sind, als Sammellinsen, und konkave Formen, die an der optischen Achse dünner als am Rand sind, als Zerstreuungs- oder Streulinsen. Ein Querschnitt beider Linsenarten ist in der nächsten Skizze gezeigt, links eine Sammellinse (blau), rechts eine Streulinse (grün). Die gestrichelte Linie zeigt die Lage der optischen Achse.
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Abbildung 1974: Sammellinse (konvexe Linse) links (blau), Streulinse (konkave Linse) rechts (grün) (C)


Um das Abbildungsverhalten einer Linse zu verstehen, kann man sie sich als Stapel aus einzelnen Prismen vorstellen, deren Scheitelwinkel nach außen größer wird. Auf der optischen Achse verlaufen die Linsenflächen parallel. Hier wird der Lichtstrahl nicht abgelenkt. In der Abbildung unten ist das Abbildungsprinzip am Beispiel der Sammellinse gezeigt. Für die Streulinse gilt das analog, wobei die Scheitel der einzelnen Prismen im Gegensatz zur Sammellinse zur optischen Achse zeigen.
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Abbildung 1975: Sammellinse als Prismenstapel (C)

Die charakteristische Größe einer Linse ist die Brennweite f. Sie ist der Abstand zur Linse, bei dem parallel einfallendes Licht im sogenannten Brennpunkt fokussiert wird.
Die Einheit der Brennweite f ist: [f]=m.
In der folgenden animierten Skizze können Sie sich die Wirkungsweise beider Linsenarten veranschaulichen. Die Skizze zeigt zunächst eine Sammellinse mit der voreingestellten Brennweite f. Die Brennweite kann verringert werden, indem mit dem Schieberegler der Wert von f verkleinert wird. Der Brennpunkt bewegt sich auf die Linse zu. Anhand der Skizze ist sichtbar, wie die stärkere Krümmung der Linsenoberfläche das Licht stärker ablenkt und damit näher an der Linse fokussiert.
Wird die Brennweite f zu negativen Werten geändert, so wird aus der Sammellinse eine Streulinse. Die parallel einfallenden Lichtstrahlen werden dann nicht mehr in einem Brennpunkt vereinigt, sondern aufgefächert. Der Brennpunkt stellt dann den Punkt dar, von dem die Lichtstrahlen ausgehen würden, wenn man ihre Ausbreitung zurück verfolgt. Die Lichtstrahlen werden von der Streulinse so abgelenkt, als würden sie alle von einer punktförmigen Lichtquelle ausgehen, die sich am Brennpunkt befindet.
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Diese Interaktion wurde mit GeoGebra erstellt (www.geogebra.org)

 

Basiswissen „Die Linsengleichung“


Die Abbildung mit Hilfe einer Sammellinse ist in der folgenden animierten Skizze dargestellt. Für die Konstruktion der Abbildung nutzt man drei charakteristische Strahlen, den Parallelstrahl (rot), den Mittelpunktstrahl (grün) und den Brennpunktstrahl (blau). Ausgangspunkt aller drei charakteristischen Strahlen ist der Gegenstandspunkt P, dessen Abbildung hinter der Linse untersucht wird (man stelle sich einen speziellen Punkt eines Gegenstands vor, den man durch die Linse projiziert und abbildet):
  • Der Parallelstrahl (rot) läuft vom Gegenstandspunkt parallel zur optischen Achse und wird dann wie alle Parallelstrahlen hinter der Linse zum Brennpunkt der Linse hin gebrochen.

  • Der Mittelpunktstrahl (grün) wird vom Gegenstandspunkt durch den Mittelpunkt der Linse geführt und läuft ungebrochen weiter, denn Lichtstrahlen, die die Linse auf der optischen Achse durchqueren, werden nicht abgelenkt.

  • Mit dem Brennpunktstrahl (blau) beschreibt man schließlich den Lichtstrahl, der vom Gegenstandspunkt aus zunächst durch den Brennpunkt der Linse läuft. Dieser Lichtstrahl wird dann von der Linse so gebrochen, dass er auf der Bildseite parallel zur optischen Achse verläuft.

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Diese Interaktion wurde mit GeoGebra erstellt (www.geogebra.org)

Alle drei Strahlen treffen sich auf der Bildseite wieder in einem Punkt, dem Bildpunkt der Abbildung. Solange g>f ist, der Gegenstand also weiter als die Brennweite f von der Linse entfernt ist, entsteht auf der Bildseite der Linse ein reelles, auf dem Kopf stehendes Bild. Ein Beispiel hierfür ist z.B. die Projektion eines Miniaturbildes (Film oder Dia) auf die Leinwand.
Aus der Geometrie der Abbildung folgt die Abbildungsgleichung einer Linse:

1 f = 1 g + 1 b .

Anmerkung: Nur wenn sich der Schirm oder die Leinwand am Ort der Gegenstandsweite befindet, erhält man eine scharfe Abbildung. Als Vergrößerung der Abbildung β erhält man

β= b g = 1 g( 1 f - 1 g ) = 1 g f -1 .

Das entspricht dem Abbildungsmaßstab A bei der Lochkamera.
Je näher man den Gegenstand zum Brennpunkt schiebt, umso stärker wird die Vergrößerung der Abbildung. Probieren Sie es in der animierten Skizze aus! Wenn man den Gegenstand näher als die Brennweite an die Linse verschiebt, existiert auf der Bildseite keine Abbildung mehr. Es entsteht ein Bild auf der Gegenstandsseite.
g>2·f f<b<2·f reell, auf dem Kopf, kleiner als der Gegenstand
g=2·f b=2·f reell, auf dem Kopf, gleich groß wie der Gegenstand
f<g<2·f b>2·f reell, auf dem Kopf, größer als der Gegenstand
g=f - kein Bild (auslaufende Strahlen parallel)
g<f b>g virtuell, gleiche Orientierung wie der Gegenstand, größer als der Gegenstand
Beispiel 4.1.22  
Kombination einer Linse mit einer Blende – Für die Bildkonstruktion ist es besonders einfach, den Lichtstrahl parallel zur optischen Achse, der nach der Linse durch den Brennpunkt geht, und den Mittelpunktsstrahl zu verwenden. Zur Bildentstehung tragen aber tatsächlich alle Strahlen bei, die ausgehend vom Gegenstand durch die Linse fallen.
Experimentell lässt sich das überprüfen, indem man in den Strahlengang zwischen Gegenstand und Linse eine Blende stellt, die nur einen Teil der Lichtstrahlen durchlässt.
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Abbildung 1976: Abbildung einer Kombination aus Linse und Blende (C)


Wie in der Skizze dargestellt, kann das vollständige Bild rekonstruiert werden. Die Blende schneidet also keinen Ausschnitt aus dem Gegenstand heraus, sondern schneidet einen Teil der Lichtstrahlen aus, die vom Gegenstand ausgehen. Die Blende führt daher dazu, dass das Bild lichtärmer (schwächer) ist, da nur ein Teil der ursprünglichen Lichtstrahlen zur Bildkonstruktion beitragen kann.
Linsensysteme – Häufig werden in optischen Geräten Linsen nicht einzeln verwendet, sondern kombiniert. Für die Abbildungseigenschaften muss dann das Gesamtsystem betrachtet weden. Befinden sich zwei Linsen direkt hintereinander, so addieren sich die Kehrwerte der Brennweiten der einzelnen Linsen f1 und f2 zum Kehrwert der Gesamtbrennweite f gesamt :

1 f gesamt = 1 f1 + 1 f2 .

  • Das einfachste abbildende System ist eine Blende bzw. eine Lochkamera.

  • Sammellinsen bündeln einen Lichtstrahl im Brennpunkt. Streulinsen fächern einen Lichtstrahl auf.

  • Die Brennweite gibt an, in welchem Abstand von der Linse ein parallel einfallender Lichtstrahl gebündelt wird.

  • Die Linsengleichung 1 f = 1 g + 1 b gibt für eine bestimmte Linse an, wo sich das scharfe Bild eines Gegenstands befindet, der sich im Abstand der Gegenstandsweite vor der Linse befindet.



 

Basiswissen „Das Auge“


Das Grundprinzip des Auges basiert auf der Abbildung eines Gegenstands mit Hilfe einer Sammellinse auf einen Schirm. Tatsächlich ist das Auge aber ein komplexes optisches System. Sein Linsensystem besteht aus der Hornhaut, der Augenflüssigkeit, der Augenlinse und dem Glaskörper. Zusätzlich lässt sich die Brennweite der Augenlinse variieren (Akkomodation). Damit kann eine Anpassung an die Entfernung des zu betrachtenden Gegenstands erreicht werden, weil die Bildweite (Abstand der Linse zur Netzhaut) nicht verändert werden kann. Da die Lichtintensität sehr unterschiedlich sein kann, steuert das Auge die einfallende Lichtintensität, indem es die Pupillengröße der Lichtintensität anpasst. Dies geschieht durch die Iris, die die Funktion einer Blende übernimmt. Den Anpassungsprozess nennt man Adaption. Der Lichtempfänger (Schirm) ist die Netzhaut. Die Bildverarbeitung erfolgt im Gehirn, das z.B. das eigentlich auf dem Kopf stehende Bild umkehrt.
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Abbildung 1977: Querschnitt des menschlichen Auges (C)


Der Sehwinkel – Bei der Abbildung eines Gegenstands auf der Netzhaut ist zu beachten, dass die Größe des Bildes eines Gegenstands auf der Netzhaut nicht nur von der Größe des Gegenstands, sondern auch von seinem Abstand zum Auge abhängt. Die entscheidende Größe ist der sog. Sehwinkel (siehe Abbildung).
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Abbildung 1978: Sehwinkel (C)


Rückt man mit dem Auge näher an einen Gegenstand heran, so wird sein Bild größer, da der Sehwinkel größer wird.
Anmerkung: Sowohl das Stereosehen mit beiden Augen als auch die Erfahrung ermöglichen eine Entfernungsabschätzung und somit eine Größenzuordnung von bestimmten Gegenständen.
Die Fehlsichtigkeit und optische Sehhilfen – Obwohl die Brennweite des Linsensystems im Auge aufgrund der Akkomodation variiert werden kann, kommt es vor, dass der Augapfel zu kurz oder zu lang ist, so dass man nicht immer ein scharfes Bild erhält (siehe Abbildung unten).
  • Ist der Augapfel zu kurz, so liegt das scharfe Bild eines Gegenstands (für kurze Abstände zwischen Auge und Gegenstand) hinter der Netzhaut, d.h. der Brennpunkt liegt zu weit hinten. Diesen Fall nennt man Weitsichtigkeit.

  • Ist der Augapfel zu lang, dann liegt das Bild vor der Netzhaut, d.h. der Brennpunkt des Linsensystems liegt für weit entfernte Gegenstände zu weit vor der Netzhaut. In diesem Fall spricht man von Kurzsichtigkeit.

Mit Hilfe einer externen Linse, z.B. einer Brille, kann eine Fehlsichtigkeit korrigiert werden.
Anmerkung: Für einen weit entfernten Gegenstand ist die Bildweite klein, so dass er im Falle eines kurzen Augapfels noch scharf auf der Netzhaut abgebildet werden kann. Die anderen Fälle ergeben sich analog.
Beispiel 4.1.23  
Die Brille – Im Fall der Weitsichtigkeit benötigt man eine Konvexlinse (Sammellinse). Die Stärke (inverse Brennweite der Linse, siehe unten) muss so angepasst sein, dass das scharfe Bild eines naheliegenden Gegenstands auf der Netzhaut zu liegen kommt. Die Kurzsichtigkeit wird mit einer Konkavlinse (Streulinse) korrigiert. Bei der Anpassung der Brille wird das scharfe Bild eines entfernten Gegenstands auf die Netzhaut verschoben (siehe Abbildung).
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Abbildung 1979: Korrektur einer Fehlsichtigkeit mit einer Brille von a) Weitsichtigkeit und b) Kurzsichtigkeit (C)

Für die Stärke der externen Linse gibt man die Brechkraft D, das ist der Kehrwert der Brennweite, an.
Die Einheit der Brechkraft ist die Dioptrie: [D]= 1 m =dpt.
Es gilt:

D= 1 f .

Daraus folgt, dass sich die Brechkräfte mehrerer nahe beieinander liegender Linsen zur Gesamtbrechkraft des Linsensystems addieren.
Beispiel 4.1.24  
Die Lupe – Eine Lupe ist eine andere optische Sehhilfe, und zwar ein Vergrößerungsglas. Mit ihr kann man kleine Schrift oder kleine Gegenstände vergrößern, die man mit bloßem Auge nicht erkennen kann. Befindet sich der zu beobachtende Gegenstand innerhalb der Brennweite der Lupe, so kann man mit dem Auge das vergrößerte, virtuelle Bild beobachten. Das Bild auf der Netzhaut wird größer. Die maximale Vergrößerung erhält man dann, wenn sich der Gegenstand in der Brennebene der Lupe befindet.
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Abbildung 1980: Funktionsprinzip einer Lupe: a) Abbildung ohne Lupe mit dem Sehwinkel α0 und der Bildgröße B0 , b) Abbildung mit Lupe mit dem Sehwinkel α L und der Bildgröße B L (C)

Die Vergrößerung einer Lupe V Lupe ist definiert als Verhältnis der Bildgröße mit Lupe B L und der Bildgröße ohne Lupe B0 , wobei hier die Gegenstandsweite auf 25cm festgelegt ist:

V Lupe = B L B0 .

Die Vergrößerung V ist dimensionslos, d.h. sie hat keine Einheit.
Allgemein, d.h. für alle optischen Instrumente, lässt sich die Vergrößerung V über den Sehwinkel bestimmen:

V= tan α L tan α 0 .

Für kleine Winkel ( tanαα) folgt daraus:

V= α L α 0 .



 

Basiswissen „Optische Instrumente“


Beispiel 4.1.25  
Der Fotoapparat – Er ähnelt vom Aufbau und dem Strahlverlauf einem menschlichen Auge: Das Fotoobjektiv besteht aus einer Linse oder einem Linsensystem und übernimmt die eigentliche Abbildung. Durch Veränderung der Bildweite oder das Auswechseln von Linsen kann der Fokus, also die Brennebene, variiert werden und damit Gegenstände in unterschiedlichen Abständen scharf abgebildet werden. Auch der Bildausschnitt der Abbildung kann durch unterschiedliche Linsen (Teleobjektiv, Weitwinkel, Zoom) eingestellt werden. Das Äquivalent zur Netzhaut ist der Film bzw. in Digitalkameras oder Smartphones ein CCD-Chip. Wie beim Auge die Pupille kann auch bei einem Fotoapparat die Lichtintensität mit Hilfe einer Blende angepasst werden. Die Blendeneinstellung erfolgt inzwischen meist automatisch über einen Lichtsensor.
Beispiel 4.1.26  
Das Mikroskop – Möchte man Objekte untersuchen, für die die Vergrößerung einer Lupe nicht ausreicht, so kann man Linsen miteinander kombinieren.
Beim Mikroskop werden zwei Sammellinsen, das Objektiv und das Okular, verwendet (siehe Abbildung unten).
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Abbildung 1981: Aufbau, Strahlengang und Funktionsprinzip eines Mikroskops (C)


Vom Objektiv wird zunächst ein vergrößertes, reelles Zwischenbild des Gegenstands erzeugt. Das Okular arbeitet wie eine Lupe und vergrößert daher das Bild noch einmal.
Die Abstände von Gegenstand zu Objektiv und Objektiv zu Okular werden dabei so variiert, dass das scharfe Zwischenbild in der Brennebene des Okulars liegt.
Die Vergrößerung des Mikroskops ergibt sich als Produkt der Vergrößerungen von Objektiv und Okular:

V Mikroskop = V Okular × V Objektiv .

Man kann Vergrößerungen bis zum 1600-Fachen erreichen.


Beispiel 4.1.27  
Das Kepler-Fernrohr – Weit entfernte Gegenstände, auch Himmelskörper, lassen sich mit einem Fernrohr vergrößern. Auch ein Fernrohr besteht aus zwei Sammellinsen, einem Objektiv und einem Okular.
Da das einfallende Licht aufgrund der großen Entfernung als parallel angenommen werden kann, liegt das scharfe Bild des Objektivs in der Brennebene. Hier fallen also die Brennebene von Objektiv und Okular zusammen.
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Abbildung 1982: Aufbau, Strahlengang und Funktionsprinzip eines Fernrohrs (C)


Die Vergrößerung des Fernrohrs ergibt sich wie beim Mikroskop als Produkt der Vergrößerungen von Objektiv und Okular. Dies lässt sich aufgrund der Linsenanordnung aus den Brennweiten der beiden Linsen bestimmen.

V Fernrohr = V Okular × V Objektiv = f Objektiv f Okular .

  • Das menschliche Auge ist ein optisches Instrument, das aus einer Linsenkombination und einem Empfänger besteht.

  • Eine Kombination von Linsen ermöglicht Korrektur (Brille) und Anpassung (Mikroskop, Fernrohr etc.) an bestimmte Abbildungsanforderungen.



 

Basiswissen „Das Lichtspektrum“


Das Spektrum und die Spektralfarben – Das sichtbare Licht besteht aus einem ganzen Spektrum an Farben. Als Spektralfarbe bezeichnet man eine einzelne, d.h. monochromatische Farbe. Es handelt sich um Licht einer einzigen Wellenlänge. In der Praxis ist es schwierig, monochromatisches Licht zu erzeugen. Man spricht daher auch von Spektralfarben, wenn man die Hauptfarben, z.B. die sieben Regenbogenfarben Rot, Orange, Gelb, Grün, Blau, Indigo und Violett, unterscheidet.
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Abbildung 1983: Spektrum des sichtbaren Lichts (C)


Alle Farben zusammen ergeben in der menschlichen Wahrnehmung weißes Licht. Verantwortlich für das Farbsehen sind die farbempfindlichen Sinneszellen im Auge, die sog. Zapfen.
Es gibt drei Typen von Zapfen, die sich in ihrer Farbempfindlichkeit unterscheiden (rot, grün und blau). Wird weißes Licht wahrgenommen, so werden die drei Zapfentypen etwa gleich stark gereizt.
Anmerkung: Die menschliche Farbwahrnehmung ist kein objektives Messinstrument, da es immer ein Zusammenspiel aus eingestrahltem Licht und Signalverarbeitung durch Sinneszellen und Gehirn ist. Sieht man z.B. gelbes Licht, so lässt sich nicht unterscheiden, ob tatsächlich gelbes Licht auf das Auge trifft, oder ob gleich starke Anteile von grünem und rotem Licht das Auge erreichen. In beiden Fällen werden die zwei Zapfentypen, die auf grünes und rotes Licht maximal empfindlich sind, gleich stark angeregt. Daraus rekonstruiert das Gehirn gelbes Licht.
Die additive und subtraktive Farbmischung – Einen Farbeindruck kann man generieren, indem man Lichtquellen kombiniert, die unterschiedliche Spektralfarben aussenden. Das ist das Prinzip der additiven Farbmischung wie in Abbildung a) gezeigt.
Mischt man dagegen unterschiedliche Farben, z.B. im Farbkasten, so werden immer weitere Anteile des Lichts absorbiert. Hier spricht man von subtraktiver Farbmischung, die in Abbildung b) dargestellt ist.
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Abbildung 1984: a) Additive Farbmischung b) Subtraktive Farbmischung (C)


Die farbigen Bilder eines Farbfernsehers oder Computermonitors werden durch additive Farbmischung erzeugt. Winzige Lichtpunkte aus den drei Spektralfarben rot, grün und blau liegen so nah nebeneinander, dass sie in der Wahrnehmung zu einer Farbe verschmelzen. Deutlicher zu sehen ist die Überlagerung von Licht unterschiedlicher Spektralfarben im Theater oder bei einem Popkonzert, wenn sich die Lichtkegel von Spots unterschiedlicher Farbe durchdringen.
Additive Farbmischung lässt sich aber auch bei indirekten Lichtquellen beobachten. In einem Zeitungsbild liegen die unterschiedlichen Farbpunkte wie bei einem Monitor dicht nebeneinander und erzeugen damit den gewünschten Farbeindruck durch die Reflexion des entsprechenden Lichts. Ein Objekt erscheint nämlich in der Farbe des Lichts, das es reflektiert. Die anderen Lichtanteile werden absorbiert.
Strahlt man einen roten Körper mit weißem Licht an, so reflektiert dieser rote Körper das rote Licht und absorbiert die blauen und grünen Farbanteile. Bestrahlt man nun den gleichen Körper ausschließlich mit blauem Licht, so absorbiert er das blaue Licht. Da er kein rotes Licht reflektieren kann, erscheint er nun schwarz (siehe Abbildung unten).
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Abbildung 1985: Ein roter Körper reflektiert rotes Licht und absorbiert die anderen Spektralfarben, d.h. wird er wie in a) mit dem vollständigen Lichtspektrum bestrahlt, so erscheint er rot. Wird er wie in b) nur mit blauem Licht bestrahlt, so erscheint er schwarz. (C)



 

Basiswissen „Die Dispersion von Licht“


Ein anderes wichtiges Phänomen, das im Zusammenhang mit der Lichtbrechung auftritt, ist das der Dispersion. Unter Dispersion versteht man die Abhängigkeit des Brechungsindex von der Wellenlänge des Lichts. Verschiedene Materialien wie auch Glas zeigen diese Eigenschaft. Im Allgemeinen ist es dabei so, dass der Brechungsindex von langer zu kurzer Wellenlänge hin ansteigt. D.h. blaues Licht wird stärker gebrochen als rotes Licht.
Dies wird auch in der nächsten animierten Skizze illustriert. Zunächst wird der Durchgang von grünem Licht ( λ=550nm) durch ein Prisma gezeigt. Der Lichtstrahl wird jeweils beim Eintritt ins Prisma und beim Austritt aus dem Prisma in die gleiche Richtung gebrochen. Verändert man nun mit dem Regler die Wellenlänge, ändert sich auch der Brechungsindex, den das Prismamaterial bezüglich dieser Wellenlänge besitzt. Unser Prisma besteht aus einem hypothetischen Material, das im Bereich des sichtbaren Lichts den Brechungsindex zwischen den Werten 1,85 und 1,65 ändert. Dadurch wird je nach Wellenlänge der Lichtstrahl stärker bzw. schwächer gebrochen. Strahlt man weißes Licht ein, das aus allen Wellenlängen des sichtbaren Lichts besteht, wird dieses durch die unterschiedliche Brechung der verschiedenen Wellenlängen in seine Farben aufgespaltet.
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Diese Interaktion wurde mit GeoGebra erstellt (www.geogebra.org)


Beispiel 4.1.28  
Die Entstehung des Regenbogens – Das Phänomen der Dispersion ist auch für die Entstehung des Regenbogens verantwortlich. Weißes Sonnenlicht fällt auf einen Regentropfen. Beim Auftreffen auf das Wässertröpfchen wird das Licht in den Tropfen gebrochen, anschließend reflektiert (Totalreflexion) und dann beim Austritt erneut gebrochen. Nun ist der Brechungsindex für jede Farbe etwas unterschiedlich, d.h. die verschiedenen Farben werden an der Grenzfläche des Tropfens unterschiedlich gebrochen, ein Regenbogen wird sichtbar (siehe Abbildung unten).
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Abbildung 1986: Entstehung des Regenbogens (C)


Beispiel 4.1.29  
Entstehung des blauen Himmels – Auch die Streuung von Licht ist für verschiedene Spektralfarben unterschiedlich. Beim Durchgang des Sonnenlichts durch die Atmosphäre wird blaues Licht stärker gestreut als rotes. So breitet sich das blaue Licht in alle Raumrichtungen aus, der ganze Himmel erscheint blau.
  • Weißes Licht ist eine Mischung aus Licht unterschiedlicher Wellenlängen bzw. Farben.

  • Bei der Farbmischung unterscheidet man zwischen additiver Farbmischung (Lichtemission) und subtraktiver Farbmischung (Lichtabsorption).

  • Dispersion beschreibt die Abhängigkeit des Brechungsindex von der Farbe, also von der Wellenlänge des Lichts.

  • Mit Hilfe eines Prismas kann man die unterschiedlichen Lichtfarben in einem Lichtstrahl aufspalten.



Aufgabe 4.1.30  
Sie stehen vor einem Spiegel und möchten sich selber fotografieren. Ihr Abstand vom Spiegel beträgt d. Auf welche Entfernung D müssen Sie mit der Kamera fokussieren?

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Abbildung 1987: Skizze (C)


Die Entfernung D

muss auf den halben Abstand zum Spiegel eingestellt werden D=0,5·d,
entspricht genau der Entfernung zum Spiegel D=1·d,
muss auf den doppelten Abstand zum Spiegel eingestellt werden D=2·d,
kann beliebig eingestellt werden,
kann mit den Angaben nicht ermittelt werden.
 


Aufgabe 4.1.31  
Sie möchten auf Ihrem Ausflug ein Bild von einem Aussichtsturm machen. Sie stehen 50m vom Turm entfernt. Im Wanderführer haben Sie gelesen, dass der Turm 28m hoch ist.


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Abbildung 1989: Skizze (C)




Welche Brennweite müssen Sie für Ihr Objektiv wählen, damit der Turm das Bild ausfüllt? Sie nehmen den Fotoapparat hochkant. Die Bildhöhe entspricht dann 36mm.


f =




Aufgabe 4.1.32  
Ihr Großvater möchte sich die alten Dias der Familienurlaube anschauen. Sie helfen ihm und bauen die Leinwand mit einer Größe von 1,20m×1,80m auf. Sie stellen den Projektor 6,00m vor dem Schirm auf. Die Dias haben eine Größe von 24,0mm×36,0mm.
Welche Brennweite muss die Linse des Projektors haben, damit das Bild die gesamte Leinwand ausfüllt?


f =




Aufgabe 4.1.33  
Ordnen Sie die Farben des Regenbogens den entsprechenden Wellenlängenbereichen des Lichts zu.
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gelb
rot
violett
cyan
orange
grün
blau
380-430 nm
430-500 nm
500-520 nm
520-560 nm
560-590 nm
590-625 nm
625-780 nm


Aufgabe 4.1.34  
Auf eine planparallele Platte aus Glas ( n2 =1,5) trifft unter einem Winkel von α=30,0 Licht. Das Glas hat eine Dicke von s=4,0cm. Um welchen Betrag d wird der Lichtstrahl verschoben? Zur Veranschaulichung sind die Größen in der vorliegenden Skizze dargestellt:
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Abbildung 1991: Skizze (C)




s =




 

Optische Linsen (!)
Video 282: Optische Linsen (C) .



Linsen bestehen aus einem lichtbrechenden Material. Sie sind so geformt, dass die Ablenkung des Lichts aus der ursprünglichen Richtung umso stärker ist, je weiter von der optischen Achse der Linse entfernt der Lichtstrahl diese durchläuft. Auf der optischen Achse der Linse wird der Lichtstrahl gar nicht abgelenkt. Die bekanntesten Formen von Linsen sind die sphärischen Linsen, die von zwei Kugeloberflächen begrenzt sind. Hier wirken konvexe Formen, die an der optischen Achse dicker als am Rand sind, als Sammellinsen und konkave Formen, die an der optischen Achse dünner als am Rand sind, als Zerstreuungslinsen. Ein Querschnitt beider Linsenarten ist in der nächsten Skizze gezeigt, links eine Sammellinse, rechts eine Zerstreuungslinse. Die gestrichelte Linie zeigt die Lage der optischen Achse.

././Physikkurs/geometrischeoptik_linsenabbildungen/images/MFILE3xOptik-Linsen.png
Abbildung 1993: Skizze (C)



Video 283: Brennpunkt und Brennweite (C) .



In der folgenden animierten Skizze können Sie sich die Wirkungsweise beider Linsenarten veranschaulichen. Die Skizze zeigt zunächst eine Sammellinse mit der voreingestellten Brennweite f. Die Brennweite ist der Abstand zur Linse, bei dem parallel einfallendes Licht im sogenannten Brennpunkt fokussiert wird. Verringern Sie die Brennweite, indem Sie mit dem Schieberegler den Wert von f verkleinern. Der Brennpunkt bewegt sich in Richtung der Linse. Für kleinere Brennweiten sind bei gleichbleibender Brechkraft dickere Linsen notwendig. An Hand der Skizze ist sichtbar, wie die stärkere Krümmung der Linsenoberfläche das Licht stärker ablenkt und damit näher an der Linse fokussiert.  

Wird die Brennweite f zu negativen Werten geändert, so wird aus der Sammellinse eine Zerstreuungslinse. Die parallel einfallenden Lichtstrahlen werden dann nicht mehr in einem Brennpunkt vereinigt, sondern aufgefächert. Der Brennpunkt stellt dann den Punkt dar, von dem die Lichtstrahlen ausgehen würden, wenn man ihre Ausbreitung zurück verfolgt. Die Lichtstrahlen werden von der Zerstreuungslinse so abgelenkt als würden sie alle von einer punktförmigen Lichtquelle ausgehen, die sich am Brennpunkt befindet.  

././Physikkurs/geometrischeoptik_linsenabbildungen/images/geogebra_geometrischeoptik_standbild1.png
Diese Interaktion wurde mit GeoGebra erstellt (www.geogebra.org)

 

Abbildung mit Hilfe von Linsen (!)
Video 284: Das Abbildungsgesetz (C) .



Die Abbildung mit Hilfe einer Sammellinse ist in der folgenden dargestellt.

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Abbildung 1994: Skizze (C)



Für die Konstruktion der Abbildung nutzt man drei charakteristische Strahlen, den Parallelstrahl (rot), den Mittelpunktstrahl (grün) und den Brennpunktstrahl (blau). Ausgangspunkt aller drei charakteristischer Strahlen ist der Gegenstandspunkt P, dessen Abbildung hinter der Linse man untersucht (man stelle sich einen speziellen Punkt eines Gegenstands vor, den man durch die Linse projiziert und abbildet. Der Parallelstrahl (rot) läuft vom Gegenstandspunkt parallel zur optischen Achse und wird dann wie alle Parallelstrahlen zum Brennpunkt der Linse hin gebrochen. Der Mittelpunktstrahl (grün) wird vom Gegenstandspunkt durch den Mittelpunkt der Linse geführt und läuft ungebrochen geradeaus weiter, denn Lichtstrahlen, die die Linse auf der optischen Achse durchqueren, werden nicht abgelenkt. Mit dem Brennpunktstrahl (blau) beschreibt man schließlich den Lichtstrahl, der vom Gegenstandspunkt aus zunächst durch den Brennpunkt der Linse läuft. Dieser Lichtstrahl wird dann von der Linse so gebrochen, dass er auf der Bildseite parallel zur optischen Achse verläuft.

 

Alle drei Strahlen treffen sich auf der Bildseite wieder in einem Punkt, dem Bildpunkt der Abbildung. Solange g>f ist, der Gegenstand also weiter als die Brennweite f von der Linse entfernt ist, entsteht auf der Bildseite der Linse ein reelles, auf dem Kopf stehendes Bild. Ein Beispiel hierfür ist z.B. die Projektion eines Miniaturbildes (Film oder Dia) auf die Leinwand. Aus der Geometrie der Abbildung folgt die Abbildungsgleichung einer Linse:


1 f = 1 g + 1 b .

Der Abbildungsmaßstab (Vergrößerung) β der Abbildung ist das Verhältnis der Bildhöhe B zu der Gegenstandshöhe G. Mit Hilfe geometrisch ähnlicher Dreiecke folgt


β= B G = b g .

Je näher man den Gegenstand zum Brennpunkt schiebt, um so stärker wird die Vergrößerung der Abbildung. Probieren Sie es in der animierten Skizze aus! Wenn man den Gegenstand näher als die Brennweite an die Linse verschiebt, existiert auf der Bildseite keine Abbildung mehr. Es entsteht ein virtuelles Bild auf der Gegenstandseite. Virtuell bedeutet hier, dass es z.B. nicht auf einer Leinwand projiziert werden kann, sondern nur virtuell im Auge eines Betrachters entsteht. Die oben gegebenen Gleichungen gelten für die Längen in reellen Bilder. Bei virtuellen Bildern muss eine genaue Betrachtung der Vorzeichen der Größen erfolgen. Dies wird in der Literatur nicht einheitlich gehandhabt. Eine ausführliche Diskussion würde an dieser Stelle zu weit führen.

 

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Diese Interaktion wurde mit GeoGebra erstellt (www.geogebra.org)