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Allgemeine Historie: Ausgangstexte und GeoGebra-Inhalte: Stefan Roth, RWTH Aachen, 2016, 2017
Textüberarbeitung: Walburga Wilms-Grabe, KIT Karlsruhe, 2017, 2018
Überarbeitung der Lektionsaufgaben: Michael Marz, KIT Karlsruhe, 2017, 2018
Lektionsvideos: Jörg Heidbüchel, Saskia Kraft-Bermuth, Oliver Sternal, Universität Stuttgart, 2017, 2018
Basiswissen: Karin Hehl, Hochschule Reutlingen, 2017, 2018
Ende der allgemeinen Historie
Freigabetreffen am KIT: Sternchenthema, Edme Hardy, Sep 2018

Physikkurs/strommagnetisch_wechselstrom/strommagnetisch_wechselstrom.tex
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2021-07-24 16:54:04 +0200: MCCLicense replaced (Michael Marz <michael.marz@kit.edu>)
2021-03-23 04:17:00 +0100: Chap. 5 (EM): Unifications, corrections, etc. (Tilo Stroh <tilo.stroh@mint.uni-stuttgart.de>)
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2021-02-21 23:48:30 +0100: Typo and other smaller corrections; further unifications. (Tilo Stroh <tilo.stroh@mint.uni-stuttgart.de>)
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2020-07-03 14:57:05 +0200: skbLabels replaced (Edme H. Hardy <edme.hardy@kit.edu>)
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5.2.6 Wechselstrom

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Erzeugung von Wechselstrom

Video 18: Erzeugung von Wechselstrom (C) .

././Physikkurs/strommagnetisch_wechselstrom/images/MFILE4xWechselstromgenerator.png

Abbildung 5.2.132: Sich drehende Leiterschleife in homogenem Magnetfeld (C)

Dreht sich eine Leiterschleife, die die Fläche

A

einschließt, in einem homogenen Magnetfeld der magnetischen Flussdichte

B

mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit

ω = d φ / d t

(

\Rightarrow φ = ω t

), so wird eine Wechselspannung zwischen den Spulenenden induziert:

U (t) = - \frac{d Φ}{d t}

​ = - \frac{d}{d t} (B A \cos φ (t))

​ = - \frac{d}{d t} (B A \cos (ω t))

​ = B A ω \sin (ω t)

​ = U_{0} \sin (ω t) .

Wird diese Wechselspannung an einen ohmschen Widerstand

R

angelegt, so entsteht phasengleich der Wechselstrom

I (t)

I(t) = I_0 \sin(\omega t) \text{mit} I_0 = \frac{U_0}{R} .

Der zeitliche Mittelwert der Spannung und des Stroms sind beide gleich null, denn im zeitlichen Verlauf heben sich die positiven und negativen Werte der Spannung bzw. des Stroms gerade weg. Daher definiert man eine Effektivspannung

U_{eff}

bzw. einen Effektivstrom

I_{eff}

, indem man jeweils das Quadrat der Spannung bzw. des Stroms zeitlich integriert, d.h. den Mittelwert über eine Periodendauer bildet (etwas längere Rechnung, hier wird nur das Ergebnis angegeben):

U_{\text{eff}}^2 &=& \displaystyle \Mdfrac{1}{T} \int\limits_0^T U^2 (t) \MDwSp t = \Mdfrac{1}{T}\MThinspace U_0^2 \int\limits_0^T \sin^2 (\omega t) \MDwSp t = \Mdfrac{1}{2}\MThinspace U_0^2 , \\[2ex] U_{\text{eff}} &=& \displaystyle \Mdfrac{U_0}{\sqrt{2}} , \\[2ex] I_{\text{eff}}^2 &=& \displaystyle \Mdfrac{1}{T} \int\limits_0^T I^2 (t) \MDwSp t = \Mdfrac{1}{T}\MThinspace I_0^2 \int\limits_0^T \sin^2 (\omega t) \MDwSp t = \Mdfrac{1}{2}\MThinspace I_0^2 , \\[2ex] I_{\text{eff}} &=& \displaystyle \Mdfrac{I_0}{\sqrt{2}} .

Graphisch ist die Lösung des Integrals in folgender Skizze zu erkennen. Im ersten Graphen wird

U (t) / U_{0}

über

ω t

gezeigt. Der zweite Graph zeigt das Quadrat davon. Zeichnet man nun zusätzlich im dritten Graphen eine Gerade mit

{(U (t) / U_{0})}^{2} = \frac{1}{2}

ein, erkennt man, dass die rot markierten Flächen gleich groß sind.

././Physikkurs/strommagnetisch_wechselstrom/images/u_eff.png

Abbildung 5.2.133: Graphen zu

\sin (x)

und

\sin^{2} (x)

(C)

Wir wollen das Integral zur Berechnung der Effektivspannung genauer betrachten,

U_{\text{eff}}^2 &=& \displaystyle \Mdfrac{1}{T} \int\limits_0^T U^2 (t) \MDwSp t\\ &=& \displaystyle \Mdfrac{1}{T}\MThinspace U_0^2 \int\limits_0^T \sin^2 (\omega t) \MDwSp t .

Im Folgenden widmen wir uns diesem Teil:

\frac{1}{T} \int_{0}^{T} \sin^{2} (ω t) d t

.

Wir nutzen dazu elementare Eigenschaften der Winkelfunktionen aus:

die trigonometrische Identität: $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ ;
die Eigenschaft: $\sin (x) = \cos (x + \frac{π}{2})$ ;
die Periodizität: aus $f (t + T) = f (t)$ folgt für $0 < t < T < T + t$ unter Ausnutzung der Additivität des Integrals: $\int_{t}^{T + t} f (t^{'}) d t^{'} = \int_{t}^{T} f (t^{'}) d t^{'} + \int_{T}^{T + t} f (t^{'}) d t^{'} = \int_{t}^{T} f (t^{'}) d t^{'} + \int_{0}^{t} f (t^{'}) d t^{'} = \int_{0}^{T} f (t^{'}) d t^{'}$ .

\sin^2(\omega t) + \cos^2(\omega t) &=&1 \quad \quad \left| \cdot \frac{1}{T} \right.\\ \frac{1}{T}\MThinspace\left(\sin^2(\omega t) + \cos^2(\omega t)\right) &=&\frac{1}{T}\quad \quad \left| \int\limits_0^T \MDwSp t \right.\\ \frac{1}{T}\MThinspace \int\limits_0^T \left(\sin^2(\omega t) + \cos^2(\omega t)\right)\MDwSp t &=& \frac{1}{T}\MThinspace\int\limits_0^T \MDwSp t\quad\quad\left|\text{Linearität der Integration} \right.\\ \frac{1}{T}\MThinspace\left( \int\limits_0^T \sin^2(\omega t)\MDwSp t + \int\limits_0^T \cos^2(\omega t)\MDwSp t\right) &=& \frac{1}{T}\MThinspace T\quad\quad\left|\text{Verschiebung des Integrationsbereichs} \right.\\ \frac{1}{T}\MThinspace\left( \int\limits_0^T \sin^2(\omega t)\MDwSp t + \int\limits_{\frac{\pi}{2 \omega}}^{T+\frac{\pi}{2\omega}} \cos^2(\omega t-\frac{\pi}{2})\MDwSp t\right) &=&1\quad\quad\left|\sin(x)=\cos(x-\frac{\pi}{2}) \right.\\ \frac{1}{T}\MThinspace\left( \int\limits_0^T \sin^2(\omega t)\MDwSp t + \int\limits_{\frac{\pi}{2\omega}}^{T+\frac{\pi}{2\omega}} \sin^2(\omega t)\MDwSp t\right) &=&1 \quad\quad\left|\text{Periodizität} \right.\\ \frac{1}{T}\MThinspace\left( \int\limits_0^T \sin^2(\omega t)\MDwSp t + \int\limits_{0}^{T} \sin^2(\omega t)\MDwSp t\right) &=&1\\ \frac{1}{T}\MThinspace\left( 2\cdot \int\limits_0^T \sin^2(\omega t)\MDwSp t \right) &=&1\\ \frac{1}{T}\MThinspace \int\limits_0^T \sin^2(\omega t)\MDwSp t &=&\frac{1}{2} .

Damit ergibt sich dann wie oben geschrieben:

U_{eff}^{2} = \frac{1}{2} U_{0}^{2} \Rightarrow U_{eff} = \frac{U_{0}}{\sqrt{2}} .

Anders als ein Oszilloskop, das den zeitlichen Verlauf einer Wechselspannung messen kann, zeigen zeitlich mittelnde Messgeräte immer die Effektivspannung

U_{eff}

an. Die Spannungsamplitude

U_{0}

ist um den Faktor

\sqrt{2} \approx 1,41

größer als die Effektivspannung. Im Fall von nicht-Ohm'schen Widerständen (Kondensatoren, Spulen) muss noch die Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom berücksichtigt werden (siehe Lektion „Wechselstromwiderstände“).

Die mittlere elektrische Leistung ergibt sich bei Wechselstrom, der durch einen Ohm'schen Widerstand

R

fließt, aus dem Produkt von Effektivspannung und Effektivstrom:

P = U_{\text{eff}} I_{\text{eff}} = \frac{U^2_{\text{eff}}}{R} = R I^2_{\text{eff}} .

Beispiel 5.2.40
Die in Europa übliche Haushalts-Wechselspannung von

U_{eff} = 230 V

hat eine Spannungsamplitude von

U_{0} = \sqrt{2} U_{eff} \approx 325 V

. Die mittlere elektrische Leistung ergibt sich bei Wechselstrom, der durch einen Ohm'schen Widerstand

R = 44 Ω

fließt, aus dem Produkt von Effektivspannung und Effektivstrom:

P = U_{eff} \cdot I_{eff}

​ = \frac{U_{eff}^{2}}{R} = R \cdot I_{eff}^{2}

​ \approx 1200 W .

Man kann mit einer einzelnen Leiterschleife einen Wechselstrom erzeugen, doch die Erzeugung ist nicht sehr effizient. Daher benutzt man zur technischen Stromerzeugung eine sich in einem statischen Magnetfeld drehende Spule.

././Physikkurs/strommagnetisch_wechselstrom/images/Wechselstromgenerator.png

Das äußere Feld kann durch einen Permanent-Magneten erzeugt werden. Weiter verbreitet sind jedoch Elektromagnete, die mit einem Teil des erzeugten Stroms gespeist werden. Die Spule kann dabei durch Muskelkraft angetrieben werden, Wasser- oder Windkraft (Turbine). In allen Fällen bezeichnet man den äußeren Magneten als Stator, während der innere Teil mit der Spule als Rotor oder Anker bezeichnet wird. Die Spule hat in der Regel noch einen Eisenkern, um eine höhere Induktion zu erreichen. Schleifkontakte dienen der Stromabnahme. Für die induzierte Spannung gilt dann:

U_{ind} = - \frac{d Φ}{d t}

​ = - N B A \frac{d}{d t} \cos (ω t)

​ = N B A ω \sin (ω t),

wobei

N

die Anzahl der Windungen,

A

die Fläche der Spule und

B

das Magnetfeld der Spule ist.

Um die Stabilität zu verbessern, sind in großen Kraftwerken Generatoren mit Vielfachen von zwei Polen im Einsatz. Daneben gibt es Generatoren für den sogenannten Drehstrom. Dabei sind drei Spulen im Winkel von jeweils 120

^{\circ}

angeordnet, die dadurch einen dreiphasigen Strom erzeugen. Dieser wird für Drehstromanwendungen wie z.B. das Aufladen von Elektroautos benötigt.

Video 19: Generator (C) .

Wenn im Aufgabentext nicht anders angegeben, geben Sie die Ergebnisse auf ganze Zahlen gerundet an. Bei Angaben in wissenschaftlicher Schreibweise (Exponentialschreibweise) runden Sie auf zwei Nachkommastellen.
Verwenden Sie

e = 1,602 \cdot 10^{- 19} C

und

μ_{0} = 4 π \cdot 10^{- 7} \frac{T m}{A}

Online-Brückenkurs Physik

1 Allgemeines

2 Eingangstests

3 Grundlagen

4 Mechanik

5 Elektromagnetismus

6 Optik

7 Wärmelehre

8 Wellen

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