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Allgemeine Historie: Ausgangstexte: Prof. Dr.-Ing. Stephan Pitsch, Hochschule Reutlingen, 2020
Latex Umsetzung: Hans Kieninger, KIT, 2020
Ende der allgemeinen Historie

Physikkurs/wellen_wellenfunktion/wellen_wellenfunktion.tex
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2022-10-05 14:55:59 +0200: Hinweis kein Basiswissen (Michael Marz <michael.marz@kit.edu>)
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8.1.2 Die Wellenfunktion

Basiswissen „Wellenfunktion “

Findet die Störung nicht nur einmal statt, sondern wiederholt sich periodisch, führt dies auch zu einer periodischen Ausbreitung der Störung. Im folgenden sollen die Begriffe Wellenlänge, Frequenz und Amplitude für eine transversale Welle am Beispiel einer periodischen Anregung eingeführt werden. Bei einer transversalen Welle schwingt der Erreger senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Welle.

Der Erreger soll eine Sinusschwingung ausführen. Das bedeutet, dass die Auslenkung (

y

) des Erregers von seiner Ruhelage in Abhängigkeit von der Zeit mit einer Sinusfunktion beschrieben werden kann:

y_{\text{Erreger}}(t)=a \cdot \sin \left(2 \cdot \pi \cdot f \cdot t\right) \qquad \text{mit} \qquad f=\frac{1}{T}

Auch hier gilt die Beziehung zwischen der Frequenz

f

einer Schwingung deren Schwingungsdauer

T

.
Die Welle breitet sich dann im Medium aus. Anschaulich führen die Massen dann nacheinander ebenfalls sinusförmige Bewegungen aus. Die nachfolgende Skizze zeigt, untereinander angeordnet, Momentaufnahmen einer sinusförmigen Welle die sich nach rechts bewegt. Beispielhaft ist ein Massenpunkt (grün) eingezeichnet. Der Punkt bewegt sich aufgrund der Welle auf und ab, bleibt aber an seiner Position

x_{0}

. Der maximale Abstand der Masse von der

x

-Achse entspricht gerade der Amplitude

A

. Die Wellenlänge

λ

, ist durch zwei Punkte gleicher Phase gegeben. Sie kann also zum Beispiel durch den Abstand zweier benachbarter Wellenberge bestimmt werden. Die Frequenz kann aus der Zeit

T

bestimmt werden, die vergeht bis ein Massenpunkt einen kompletten Schwingungsvorgang durchlaufen hat. In der Skizze sind die für eine Welle charakteristischen Größen eingezeichnet.

Abbildung 8.1.72: Fortschreitende Wellen durch periodische Anregung (C)

Um eine solche transversale Welle zu beschreiben, muss die von den Schwingungen bekannte Sinusfunktion erweitert werden, da mit einer Gleichung nicht nur das Verhalten eines Massenpunktes, sondern vieler benachbarter Punkte beschrieben werden soll. Die ursprüngliche, nur von der Zeit abhängige Funktion

y(t)=A \cdot \sin\left(2 \cdot\pi \cdot f \cdot t \right) =A \cdot \sin\left( \omega \cdot t \right) \qquad \MEinheit{mit} \qquad \omega = 2 \cdot \pi \cdot f

muss um die Abhängigkeit der Bewegung von der Lage des Massenpunktes in

x

-Richtung ergänzt werden:

y(x,t)=A \cdot \sin\left(k \cdot x - \omega \cdot t \right)

Diese Gleichung beschreibt eine nach rechts laufende sinusförmige Welle. Die Auslenkung

y

eines beliebigen Massenpunktes an einer Stelle

x_{0}

zum Zeitpunkt

t_{0}

kann durch einsetzen der Werte ermittelt werden

y = y (x_{0}, t_{0})

.
An der obigen Skizze ist zu erkennen, dass die Ausbreitungeschwindigkeit der Welle auch über die Wellenlänge

λ

und die Periodendauer

T

berechnet werden kann. Der grün gekennzeichnete Massenpunkt bewegt sich während einer Periode

T

vom Maximum über den Nulldurchgang zum Minimum und wieder zurück. Gleichzeitig wandert die Welle in dieser Zeit um die Länge

λ

entlang der

x

-Achse. Es ist also:

c=\frac{\lambda}{T}

Da es sich bei Wellen um Schwingungen handelt, die sich in einem Medium ausbreiten, können die von den Schwingungen bekannten Größen definiert werden:

Bei einer Welle werden die einzelnen Teilchen periodisch aus ihrer Ruhelage ausgelenkt. Die maximale Auslenkung wird als Amplitude bezeichnet und entspricht der Amplitude der erregenden Schwingung und der Welle.
Die Wellenlänge $λ$ ist bestimmt durch den Abstand zweier benachbarter Wellenberge bzw. durch den Abstand zweier benachbarter Teilchen gleicher Schwingungsphase. Sie ist weder orts- noch zeitabhängig.
Die Periodendauer $T$ ist genau die Zeit, die vergeht, bis die erregende Schwingung einmal durchlaufen ist.
Die Frequenz $f$ ist der Kehrwert der Periodendauer $T$ . Zwischen Winkelgeschwindigkeit $ω$ und Frequenz gilt: $\omega= 2 \cdot\pi\cdot f=\frac{2 \cdot\pi}{T}$
Die Welle bewegt sich im Medium mit der Geschwindigkeit $c$ fort. Dabei gilt:

$c=\frac{\lambda}{T}=\lambda \cdot f$

Aufgabe 8.1.7
Berechnen Sie die Wellenlänge

λ

folgender Wellen:
UKW mit einer Frequenz von

f_{UKW} = 90,1 M H z

und von Mikrowellen mit einer Frequenz von

f_{Mikro} = 2,1 G H z

.
Überlegen Sie zuerst, um was für Wellen es sich handelt und mit welcher Geschwindigkeit sie sich in Luft ausbreiten.

λ_{UKW}

=

λ_{Mikro}

=

UKW und Mikrowellen sind beides elektromagnetische Wellen. Deren Ausbreitungsgeschwindigkeit liegt ungefähr bei

c = 3,00 \cdot 10^{8} \frac{m}{s}

(Lichtgeschwindigkeit).
Die Welle bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit

c

durch das Medium. Es gilt

c = λ \cdot f

. Umformen nach

λ

ergibt:

\lambda_{\text{UKW}}=\frac{c}{f_{\text{UKW}}}=\frac{\displaystyle 3{,}00 \cdot 10^8\frac{\MEinheit{m}}{\MEinheit{s}}}{\displaystyle 90{,}1\MEinheit{MHz}}=\frac{\displaystyle 3{,}00 \cdot 10^8\frac{\MEinheit{m}}{\MEinheit{s}}}{\displaystyle 90{,}1 \cdot 10^6\MEinheit{Hz}}=3{,}33\MEinheit{m}

\lambda_{\text{Mikro}}=\frac{c}{f_{\text{Mikro}}}=\frac{\displaystyle 3{,}00 \cdot 10^8\frac{\MEinheit{m}}{\MEinheit{s}}}{\displaystyle 2{,}1\MEinheit{GHz}}=\frac{\displaystyle 3{,}00 \cdot 10^8\frac{\MEinheit{m}}{\MEinheit{s}}}{\displaystyle 2{,}1\cdot 10^9\MEinheit{Hz}}=0{,}143 \MEinheit{m}

Aufgabe 8.1.8
Eine sinusförmige Wasserwelle breitet sich in positiver

x

-Richtung aus. Sie startet an der Stelle

x_{0} = 0

Die Frequenz beträgt

f = 3 H z

und die Wellenlänge liegt bei

λ = 0,4 m

. Nach welcher Zeit hat die Welle die Stelle

x_{1} = 30 c m

erreicht?

t_{1}

=

Zuerst berechnen wir aus der Frequenz

f

und der Wellenlänge

λ

die Ausbreitungsgeschwindigkeit

c

der Welle:

c = \lambda \cdot f = 0{,}4\MEinheit{m} \cdot 3\MEinheit{Hz} = 1{,}2\frac{\MEinheit{m}}{\MEinheit{s}}

Die Welle bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit durch das Medium. Dann gilt

v = c

v =c=\frac{s}{t}

Umformen der Gleichung nach der Zeit und einsetzen der berechneten Ausbreitungsgeschwindigkeit

c

und des zurückgelegten Weges

s = x_{1} - x_{0}

ergibt:

t_1=\frac{s}{c}=\frac{\displaystyle 0{,}30\MEinheit{m}}{\displaystyle 1{,}2\frac{\MEinheit{m}}{\MEinheit{s}}}=0{,}25\MEinheit{s}

Aufgabe 8.1.9
Eine sinusförmige, transversale Welle breitet sich in positiver

x

-Richtung aus. Zum Zeitpunkt

t_{0} = 0

startet sie an der Stelle

x_{0} = 0

in positiver

x

-Richtung (

y_{0} = 0

). Ihre Geschwindigkeit beträgt

c = 3,0 \frac{m}{s}

. Die maximale Amplitude beträgt

y_{max} = 10 c m

bei einer Schwingungsdauer von

T = 4,0 s

.

Berechnen Sie die Wellenlänge

λ

λ

=

Nach welcher Zeit erreicht die Welle den Punkt

x_{1} = 120 m

t_{1}

=

Aus der Geschwindigkeit der Welle und der Schwingungsdauer kann die Wellenlänge berechnet werden:

c &=& \frac{\lambda}{T} \qquad \Longleftrightarrow \qquad \lambda = c \cdot T \\ \lambda &=& c=3{,}0\frac{\displaystyle \MEinheit{m}}{\displaystyle \MEinheit{s}} \cdot 4{,}0\MEinheit{s} = 12\MEinheit{m}

Die Welle bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit

v = c

durch das Medium. Dann gilt:

v =\frac{s}{t}

Umformen der Gleichung nach der Zeit und einsetzen der Ausbreitungsgeschwindigkeit

c

und des zurückgelegten Weges

s = x_{1} - x_{0}

ergibt:

t_1=\frac{s}{c}=\frac{\displaystyle 120\MEinheit{m}}{\displaystyle 3{,}0\frac{\MEinheit{m}}{\MEinheit{s}} }=40 \MEinheit{s}

Eindimensionale Wellenbewegung (*)

Video 2: Wellenlänge und Periodendauer (C) .

Bei einer Welle möchte man wissen, welche Form die Welle über einem bestimmten Gebiet hat (grau markierter Bereich in der Grafik unten). Man sucht eine Funktion, die die Auslenkung an einzelnen Positionen (

x

-Koordinate) beschreibt. Da die Auslenkungen sich aber an allen Positionen in dem Gebiet auch über der Zeit verändern, muss die Zeit

t

in dieser so genannten Wellenfunktion ebenfalls eine Variable sein.

././Physikkurs/wellen_wellenfunktion/images/wellenfunktion01.png

Abbildung 8.1.73: Wellenfunktion zu verschiedenen Zeitpunkten (C)

Die durchgezogene schwarze Linie in der Grafik stellt z.B. die Auslenkung eines Seils, in dem sich gerade eine Welle fortbewegt, zum Zeitpunkt

t_{1}

dar. Zu einem etwas späteren Zeitpunkt

t_{2}

hat sich die Auslenkung des Seils etwas verändert und es sieht so aus, als ob die schwarze Linie um ein kleines Stück nach rechts verschoben wurde. Um eine Wellenfunktion

y (x, t)

zu definieren, braucht man also eine beliebige Kurve

f (x)

, die je nach Ausbreitungsrichtung der Welle in Abhängigkeit der Zeit nach links oder rechts verschoben wird. Eine Verschiebung erfolgt mathematisch gesehen dadurch, dass man zur Ortskoordinate

x

einen bestimmten Wert

Δ x = c \cdot t

addiert oder subtrahiert, der von der Zeit abhängt. Der Faktor

c

entspricht dabei der Ausbreitungsgeschwindigkeit.

Die allgemeinste Form einer Wellenfunktion

y(x,t)=f(x \pm c \cdot t)


mit	$y$	Auslenkung der Partikel im Ausbreitungsmedium
	$x$	Position im Ausbreitungsgebiet
	$t$	Zeit
	$c$	Ausbreitungsgeschwindigkeit

Beispiel 8.1.10
Der Wellenberg einer Seilwelle kann z.B. mithilfe einer Exponentialfunktion (Glockenfunktion) dargestellt werden:

y(x,t)=y_0\cdot \MEU^{\alpha \cdot (x - c \cdot t)^2}

mit:

y_0=1\MEinheit{m} ; \alpha = -\MZahl{0}{02}\MEinheit{m^{-2}} \text{und} c = 2\MEinheit{m/s} .

Nachfolgend: Diagramm für

t = 0 s

Abbildung 8.1.74: Wellenberg einer Seilwelle für

t = 0

. (C)


a)	In welche Richtung breitet sich die Welle aus?
b)	An welcher absoluten Position befindet sich der Wellenberg nach $t = 20 s$ ?


a)	Die Ausbreitungsgeschwindigkeit ist:	$c = + 2 m / s \to$ Ausbreitung nach rechts
b)	Position nach $t = 20 s$ :	$x = 0 + 2 m / s \cdot 20 s = 40 m$

Abbildung 8.1.75: Wellenberg einer Seilwelle für verschiedene Zeiten. (C)

Periodische und harmonische Wellen (+)


Periodische Welle:	Die Auslenkung an einer Position wiederholt sich periodisch
Beispiele: Gestrichene Geigensaite Schalldruckimpulse
Harmonische Welle: (immer periodisch)	Die Auslenkung an einer Position lässt sich durch eine harmonische Funktion (Sinus, Kosinus) beschreiben
Beispiele: Schalldruckwelle Flachwasserwelle


Abstand zwei benachbarter Wellenberge	Wellenlänge $λ$
Ausbreitungsgeschwindigkeit = Wellenlänge / Periodendauer	$c = \frac{λ}{T} = λ \cdot f$	(1)
Darstellung einer Sinuswelle zum Zeitpunkt $t = 0$	$y (x) = A \cdot \sin (\frac{2 π}{λ} (x^{'} + Δ x))$
Definition der sogenannten Wellenzahl $k$	$k = \frac{2 π}{λ}$	(2)
Definition der sogenannten Phasenkonstante	$φ_{0} = k \cdot Δ x$	(3)
Zeitabhängige rechtslaufende Welle: mit (2), (3) und $x^{'} = x - c t$	$y (x, t) = A \cdot \sin (k (x - c t) + φ_{0})$
Für $φ_{0} = 0$ gilt	$y (x, t) = A \cdot \sin (k x - k c t)$
Für die Winkelgeschwindigkeit gilt mit (1)	$ω = 2 π f = 2 π \frac{c}{λ} = k c$
Enddarstellung einer rechtslaufenden Welle	$y (x, t) = A \cdot \sin (k x - ω t)$

Harmonische Welle
Die Auslenkungsfunktion einer eindimensionalen harmonischen Welle ist definiert mit:

y(x,t) = A \cdot \sin(kx \pm \omega t + \Mvarphi_0) = A \cdot \sin\left( 2\pi\frac{x}{\lambda} \pm 2\pi\frac{t}{T} + k\cdot\Delta x\right)


dabei ist	$k = \frac{2 π}{λ}$	Wellenzahl ( $r a d / m$ )
	$λ = \frac{c}{f}$	Wellenlänge ( $m$ )
	$k x \pm ω t$	Phase (orts- und zeitabhängig)	$+$ linkslaufend, $-$ rechtslaufend
	$φ_{0}$	Phasenkonstante
	$c$	Ausbreitungs- bzw. Phasengeschwindigkeit

Beispiel 8.1.11
Gegeben sei eine rechtslaufende Welle:

y(x,t) = y_0\cdot \sin\left(\frac{\MZahl{0}{2}x}{\MEinheit[]{m}} - \frac{2t}{\MEinheit[]{s}}\right)


a)	Welche Wellenlänge besitzt die Welle?
b)	Bestimmen Sie die Phasengeschwindigkeit.


a)	Wellenzahl:	$k = \frac{0,2}{m} = \frac{2 π}{λ} \to λ = 31,4 m$
b)	Winkelgeschwindigkeit	$ω = \frac{2}{s} = 2 π f \to f = 0,32 H z$
	Phasengeschwindigkeit	$c = λ f = 10 m / s$
	Diagramm:	Abbildung 8.1.79: Rechtslaufende Welle zur Zeit $t = 0$ . (C)

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3 Grundlagen

4 Mechanik

5 Elektromagnetismus

6 Optik

7 Wärmelehre

8 Wellen

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