8.1.2 Die Wellenfunktion



 

Eindimensionale Wellenbewegung (*)
Bei einer Welle möchte man wissen, welche Form die Welle über einem bestimmten Gebiet hat (grau markierter Bereich in der Grafik unten). Man sucht eine Funktion, die die Auslenkung an einzelnen Positionen ( x-Koordinate) beschreibt. Da die Auslenkungen sich aber an allen Positionen in dem Gebiet auch über der Zeit verändern, muss die Zeit t in dieser so genannten Wellenfunktion ebenfalls eine Variable sein.
././Physikkurs/wellen_wellenfunktion/images/wellenfunktion01.png
Abbildung 8.1.68: Wellenfunktion zu verschiedenen Zeitpunkten (C)

Die durchgezogene schwarze Linie in der Grafik stellt z.B. die Auslenkung eines Seils, in dem sich gerade eine Welle fortbewegt, zum Zeitpunkt t1 dar. Zu einem etwas späteren Zeitpunkt t2 hat sich die Auslenkung des Seils etwas verändert und es sieht so aus, als ob die schwarze Linie um ein kleines Stück nach rechts verschoben wurde. Um eine Wellenfunktion y(x,t) zu definieren, braucht man also eine beliebige Kurve f(x), die je nach Ausbreitungsrichtung der Welle in Abhängigkeit der Zeit nach links oder rechts verschoben wird. Eine Verschiebung erfolgt mathematisch gesehen dadurch, dass man zur Ortskoordinate x einen bestimmten Wert Δx=c·t addiert oder subtrahiert, der von der Zeit abhängt. Der Faktor c entspricht dabei der Ausbreitungsgeschwindigkeit.
Die allgemeinste Form einer Wellenfunktion

y(x,t)=f(x±c·t)

mit y Auslenkung der Partikel im Ausbreitungsmedium
x Position im Ausbreitungsgebiet
t Zeit
c Ausbreitungsgeschwindigkeit
Beispiel 8.1.4  
Der Wellenberg einer Seilwelle kann z.B. mithilfe einer Exponentialfunktion (Glockenfunktion) dargestellt werden:

y(x,t)= y0 ·eα·(x-c·t )2

mit:

y0 =1m;α=-0,02m-2 und c=2m/s.

Nachfolgend: Diagramm für t=0s.

./_BEFDC274_4x.png
Abbildung 8.1.69: Wellenberg einer Seilwelle für t=0.

a) In welche Richtung breitet sich die Welle aus?
b) An welcher absoluten Position befindet sich der Wellenberg nach t=20s?
 


 

Periodische und harmonische Wellen (+)
Periodische Welle: Die Auslenkung an einer Position wiederholt sich periodisch
Beispiele:
  • Gestrichene Geigensaite

  • Schalldruckimpulse

././Physikkurs/wellen_wellenfunktion/images/wellenfunktion03.png  
Harmonische Welle: (immer periodisch) Die Auslenkung an einer Position lässt sich durch eine harmonische Funktion (Sinus, Kosinus) beschreiben
Beispiele:
  • Schalldruckwelle

  • Flachwasserwelle

././Physikkurs/wellen_wellenfunktion/images/wellenfunktion04.png
Abstand zwei benachbarter Wellenberge Wellenlänge λ
Ausbreitungsgeschwindigkeit = Wellenlänge / Periodendauer c= λ T =λ·f (1)
Darstellung einer Sinuswelle zum Zeitpunkt t=0 y(x)=A·sin( 2π λ ( x' +Δx))
Definition der sogenannten Wellenzahl k k= 2π λ (2)
Definition der sogenannten Phasenkonstante φ0 =k·Δx (3)
Zeitabhängige rechtslaufende Welle: mit (2), (3) und x' =x-ct y(x,t)=A·sin(k(x-ct)+ φ0 )
Für φ0 =0 gilt y(x,t)=A·sin(kx-kct)
Für die Winkelgeschwindigkeit gilt mit (1) ω=2πf=2π c λ =kc
Enddarstellung einer rechtslaufenden Welle y(x,t)=A·sin(kx-ωt)
Harmonische Welle
Die Auslenkungsfunktion einer eindimensionalen harmonischen Welle ist definiert mit:

y(x,t)=A·sin(kx±ωt+ φ0 )=A·sin(2π x λ ±2π t T +k·Δx)

dabei ist k= 2π λ Wellenzahl ( rad/m)
λ= c f Wellenlänge ( m)././Physikkurs/wellen_wellenfunktion/images/wellenfunktion05.png  
kx±ωt Phase (orts- und zeitabhängig) + linkslaufend, - rechtslaufend
φ0 Phasenkonstante
c Ausbreitungs- bzw. Phasengeschwindigkeit
Beispiel 8.1.5  
Gegeben sei eine rechtslaufende Welle:

y(x,t)= y0 ·sin( 0,2x m - 2t s )

a) Welche Wellenlänge besitzt die Welle?
b) Bestimmen Sie die Phasengeschwindigkeit.