2. Mechanik
  3. Drehbewegungen
  4. Himmelsmechanik (*)

4.5.4 Himmelsmechanik





 

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Zu diesem Abschnitt gibt es leider noch kein Basiswissen.

Dieses Thema wird in der Schule meist nicht behandelt. Die folgende kurze Zusammenfassung kann aber dennoch eine nützliche Vorbereitung auf die Behandlung des Themas im Studium darstellen. 

Video 41: Die keplerschen Gesetze (C) .

 

Keplersche Gesetze (*)
Tycho Brahe führte sehr umfangreiche und genaue Messungen der Planetenbahnen durch. Diese Beobachtungen benutzte Johannes Kepler, um die Bewegung der Planeten um die Sonne zu untersuchen. Es gelang ihm schließlich, die Planetenbewegungen an Hand von drei Gesetzen zu beschreiben (wir verwenden hier die Formulierungen aus Wikipedia):  

1. Keplersches Gesetz:  
Die Planeten bewegen sich auf elliptischen Bahnen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.
Alle Himmelskörper, die die Sonne umkreisen, bewegen sich auf Ellipsenbahnen. Im Gegensatz zu den Kometenbahnen sind die Planetenbahnen sehr kreisähnliche Ellipsen, d.h. die Exzentrizitäten ihrer Ellipsen sind sehr klein.  

2. Keplersches Gesetz:  
Ein von der Sonne zum Planeten gezogener Fahrstrahl überstreicht in gleichen Zeiten gleich große Flächen.
Diese Aussage bedeutet unter anderem, dass sich die Himmelskörper bei ihrer Bewegung auf der Ellipsenbahn auf Abschnitten in der Nähe der Sonne schneller bewegen als auf Abschnitten, die sich weiter weg von der Sonne befinden. Das Gesetz kann aus dem Prinzip der Drehimpulserhaltung abgeleitet werden.  

3. Keplersches Gesetz:  
Die Quadrate der Umlaufzeiten T zweier Planeten verhalten sich wie die Kuben (dritten Potenzen) der großen Bahnhalbachsen a.
Sonnennahe Planeten besitzen kürzere Umlaufzeiten als sonnenferne Planeten. Beispielsweise benötigt der Merkur für einen Umlauf um die Sonne nur 88 Tage, der Neptun dagegen 165 Jahre. Die Konstante a3 / T2 = C K ist für alle Planeten in unserem Sonnensystem gleich.

Video 42: Newtons Gravitationsgesetz (C) .

 

Newtons Gravitationsgesetz (*)
Inspiriert von der Bewegung der Himmelskörper und unter Nutzung der keplerschen Gesetze stellte Isaac Newton sein Gravitationsgesetz auf.  

Um Newtons Ableitung des Gesetzes nachzuvollziehen, machen wir die Näherung, dass sich die Planeten auf Kreisbahnen bewegen. Dann wirkt auf einen Planeten die Zentrifugalkraft

F Z =m ω2 r=4 π2 m· r T2  .

Setzen wir für die Umlaufdauer T das dritte keplersche Gesetz ein, erhalten wir

F Z =4 π2 m·r· C K r3 =4 π2 m· C K r2  .

Damit der Planet auf seiner Bahn bleibt, müssen sich die Zentrifugalkraft und die Anziehungskraft der Sonne gerade ausgleichen. Daraus folgt, dass diese Anziehungskraft proportional zu 1/ r2 abnehmen muss. Davon ausgehend stellte Newton das Gravitationsgesetz auf, das nun aber für alle Arten von Körpern gilt, nicht nur für die Körper des Sonnensystems. Dieses Gravitationsgesetz gibt ganz allgemein die Anziehungskraft F G an, die zwei Massen m1 und m2 aufeinander ausüben, wenn sie sich in einem Abstand r voneinander befinden:

F G =G m1 m2 r2  .

Die Konstante G ist die Gravitationskonstante. Sie kann im Labor bestimmt werden, indem man z.B. die Anziehungskraft misst, die zwei Bleikugeln aufeinander ausüben. Sie hat den ungefähren Wert

G≈6,67· 10-11     m3 kg  s2  .

Setzt man die newtonsche Gravitationskraft mit der Zentrifugalkraft gleich, kann man die Konstante C K aus dem dritten Kepler-Gesetz bestimmen. Zum Beispiel gilt für die Anziehung zwischen der Erde (Masse m E ) und der Sonne (Masse M S ):
 
4 π2 m E · C K r2 =G m E M S r2   ⟹   C K = G 4 π2 · M S  .
 
Daraus ist ersichtlich, dass C K nur für unser Sonnensystem eine Konstante darstellt.

 

Bezug zur Fallbeschleunigung (*)
Die Fallbeschleunigung g, die auf der Erdoberfläche herrscht, ist natürlich auch eine Folge der Gravitationskraft. Auf der Erdoberfläche hat der Körper einen Abstand vom Erdmittelpunkt, der durch den Erdradius r E gegeben ist. Mit dem Gravitationsgesetz kann man die Kraft berechnen, mit der der Körper mit der Masse m K von der Erde mit der Masse m E angezogen wird. Man erhält:
 
m K g=G m E m K r E 2   ⟹   g=G m E r E 2  .
 
Kennt man die Gravitationskonstante G (der Erdradius r E ist schon seit der Antike bekannt), kann man hieraus die Masse der Erde m E bestimmen. Daher bezeichnete man das erste Experiment, bei dem es gelang, die Gravitationskonstante G zu bestimmen, auch als das „Wiegen der Erde“.



Wenn im Aufgabentext nicht anders angegeben, geben Sie die Ergebnisse auf ganze Zahlen gerundet an. Bei Angaben in wissenschaftlicher Schreibweise (Exponentialschreibweise) runden Sie auf zwei Nachkommastellen.
Falls nicht anders angegeben, verwenden Sie g=9,81  m s2  .