2. Mechanik
  3. Schwingungen
  4. Harmonische Schwingungen (+)

4.6.1 Harmonische Schwingungen





 

Basiswissen „Schwingungen “


Bei einer Schwingung bewegt sich ein Körper periodisch um seine Ruhelage. Betrachten wir, als einfaches Beispiel für ein schwingendes System, eine Kugel die an einer Feder periodisch um die Gleichgewichtslage schwingt:


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Abbildung 4.6.1: Federpendel als Beispiel für schwingungsfähiges System  (C)

Macht man Momentaufnahmen und legt diese nebeneinander, ergibt sich der unten gezeigte Verlauf. Die Kugel bewegt sich in y-Richtung. In horizontaler Richtung ist der zeitliche Ablauf dargestellt.


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Abbildung 4.6.2: Momentaufnahmen einer Federschwingung  (C)

Es offensichtlich, dass der Abstand der Kugel von der Ruhelage mit der Zeit variiert. Die Kugel wird aus der Ruhelage ausgelenkt. Durch die Feder wirkt eine rückstellende Kraft, die dazu führt, dass sich die Kugel wieder in Richtung Ruhelage bewegt. Aufgrund der Trägheit bewegt sich die Kugel über die Ruhelage hinaus. Dies führt wieder zu einer rückstellenden Kraft in die andere Richtung zur Ruhelage hin. Die Kugel bewegt sich bis zum Umkehrpunkt und wird im Anschluss wieder in Richtung Ruhelage beschleunigt. Wegen der Trägheit, bewegt sich die Kugel wieder an der Ruhelage vorbei. Gäbe es keine Reibung würde sich dieser dieser Vorgang unendlich oft wiederholen.
Eine periodische Funktion ist dadurch gekennzeichnet, dass sich die Funktionswerte in Abhängigkeit von der Variablen in regelmäßigen Abständen wiederholen. Analog spricht man in der Physik bei sich regelmäßig wiederholenden physikalischen Erscheinungen von periodischen Schwingungen, wie im Beispiel der an einer Feder aufghängten Kugel.
Die Zeit, die vergeht, bis die Bewegung wieder von vorne beginnt, wird als Schwingungsdauer T oder auch als Periode der Schwingung bezeichnet. In der Darstellung oben, entspricht das zum Beispiel der Zeit, die zwischen zwei aufeinanderfolgenden Durchgängen im obersten Punkt der Bahn, vergeht. Der maximale Abstand der Kugel von der Ruhelage heißt Amplitude A. In der Abbildung sind die Größen A und T veranschaulicht.
Eine Schwingung heißt harmonisch, wenn die Auslenkung y des Massepunkts aus der Ruhelage in Abhängigkeit von der Zeit mit einer Sinusfunktion beschrieben werden kann:

y(t)=A·sin( 2·π T ·t)=A·sin(2·π·f·t)

Hier ist f die sogenannte Frequenz. Sie ist der Quotient aus der Anzahl der Schwingungen n und der dafür benötigten Zeit Δt und identisch mit dem Kehrwert der Schwingungsdauer:

f= n Δt = 1 T

Die Einheit der Frequenz ist: [f]= 1  s = Hz       (Hertz)
Die Funktion y(t) kann unter Verwendung der bei den Kreisbewegungen eingeführten Winkelgeschwindigkeit ω=2·π·f umgeschrieben werden zu:

y(t)=A·sin(ω·t)

Die Bewegungsgleichung für einen Körper, der eine Schwingung ausführt, wird mit Überlegungen aus der Statik verständlich. Wird eine Feder gedehnt, muss die Federkraft aufgebracht werden:

F=-D·x

Gleichtzeitig gilt nach Newton:

F=m·a

Diese beiden Kräfte müssen gleich groß sein:

m·a=-D·x

Da sich der Körper bewegt, variiert der Ort und ebenso die Beschleunigung mit der Zeit. Berücksichtigt man diese Zeitabhängigkeit und schreibt die Beschleunigung a als zweite Ableitung des Ortes x nach der Zeit t, also als a= x ·· , ergibt sich:

m· x ·· (t)=-D·x(t)

Diese Gleichung heißt der harmonischen Schwingung. Eine Lösung dieser Differentialgleichung ist die oben vorgestellte Sinus-Funktion. Das kann durch Einsetzen der Funktion in die Differenzialgleichung getestet werden. Für die Berechnung wird an dieser Stelle auf die Lektionsseite verwiesen.
Beispiel 4.6.1  
Im oben genannten Beispiel des Federpendels werden für 5 Schwingungen die Zeit t=10,0 s benötigt. Die Frequenz berechnet sich dann zu:

f= n Δt = 5 10,0 s =0,5 1  s =0,5 Hz

Das bedeutet, dass in einer Sekunde nur die Hälfte einer Periode durchlaufen wird.


Bei einer harmonischen Schwingung
  • sind die Auslenkung und die rückstellende Kraft proportional zueinander

  • ist die Periodendauer T unabhängig von der Amplitude A

  • eines Federpendels ist die Periodendauer T=2·π· m D

Ausführungen zu Energie und Fadenpendel sind in den Lektionstexten zu finden.

Aufgabe 4.6.2  
An einer Feder hängt ein Körper mit der Masse m=0,50 kg in Ruhe. Die Feder ist dabei um x=10 cm gedehnt. Wie groß ist die Rückstellkraft, wenn der Körper um weitere 50 cm aus der Ruhelage ausgelenkt wird?


F  = 




Aufgabe 4.6.3  
Sie möchten die Federkonstante D einer Feder bestimmen. Dazu hängen sie einen Körper mit der Masse m=250 g an die Feder und lenken ihn aus der Ruhelage aus. Da sich der Körper schnell bewegt, messen sie die Zeit Δt=25 s, die während 40 Schwingungen vergeht.
D  = 




Aufgabe 4.6.4  
Die Feder eines Federpendels wird geviertelt. Welchen Einfluss hat das auf die Schwingungsdauer?

 


Aufgabe 4.6.5  
Ein Körper mit der Masse m=500 g hängt an einer Feder. Sie lenken ihn aus der Ruhelage aus. Am Punkt der maximalen Auslenkung erfährt der Körper eine Beschleunigung a=48  cm   s2 . Berechnen die Federkonstante, wenn die maximale Auslenkung x=12 cm beträgt.
D  = 

 


Aufgabe 4.6.6  
Ein Körper führt eine harmonische Schwingung aus. Seine Bewegung kann durch folgende Gleichung beschrieben werden:

x(t)=A·sin(2·π·f·t)

Wie groß ist seine Auslenkung von der Nulllage, seine Geschwindigkeit und die Beschleunigung Δt=0,1 s nach dem Nulldurchgang?
Die maximale Auslenkung beträgt A=0,1 m und die Frequenz f=20 Hz.

x(0,1 s)  = 

v(0,1 s)  = 

a(0,1 s)  = 




 

Periodische Bewegungen (+)


Video 1: Harmonische Schwingung und Frequenz (C) .



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Abbildung 4.6.6: Fadenpendel  (C)

Unter Schwingungen versteht man periodische Bewegungen von Körpern. Die Zeit, nach der ein Körper eine dieser periodischen Bewegungen genau einmal ausgeführt hat, nennt man die Periodendauer T. Den Kehrwert der Periodendauer T nennt man die Frequenz f:

f= 1 T  .



Die Einheit der Frequenz ist das Hertz:

[f]=1 Hz=1  1 s  .



Es sei hier vorweggenommen, dass eine Schwingung mit einer Kreisbewegung verglichen werden kann. Die Rotation eines Körpers auf einer Kreisbahn wird durch eine Projektion übertragen auf die Hin- und Herbewegung einer Schwingung. Die Amplitude der Schwingung entspricht hierbei dem Radius der Kreisbewegung, und ein vollständiger Umlauf des Kreises ist gleichbedeutend mit der Periode der Schwingung (Genaueres siehe unten).

Daher führt man auch bei den Schwingungen die von den Kreisbewegungen her bekannte Winkelgeschwindigkeit ω ein. Sie wird hier allerdings Kreisfrequenz genannt:

ω=2π f .



 

Bewegungsgesetz der harmonischen Schwingung (+)


Video 2: Harmonische Schwingung am Beispiel eines Federpendels (C) .



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Abbildung 4.6.7: Federpendel  (C)

Ein Beispiel für ein System, das eine harmonische Schwingung ausführt, ist eine Masse, die an einer Feder hängt. Lenkt man diese Masse aus ihrer Ruhelage aus und lässt sie dann los, so fängt sie an zu schwingen. Ohne Reibung wiederholt sich diese Schwingung immer wieder gleich. Man spricht von einer ungedämpften Schwingung.

Video 3: Bewegungsgesetz der harmonischen Schwingung am Beispiel eines Federpendels (C) .



Die Federkraft, die auf die ausgelenkte Masse wirkt, beschleunigt diese in Richtung der Ruhelage. Es gilt:

F=ma=-Dx ,

wobei wir für die Kraft F das hookesche Gesetz angesetzt haben. Das negative Vorzeichen bedeutet, dass die beschleunigende Kraft F entgegengesetzt zur Auslenkung der Feder x gerichtet ist.

Man setzt nun für die Beschleunigung die zweite Ableitung des Ortes nach der Zeit ( a= x ·· ) ein und erhält nach kurzer Umformung die Differentialgleichung der harmonischen Schwingung:

x ·· =- D m  x .

Diese Gleichung ist eine sogenannte Differentialgleichung. Unter einer Differentialgleichung (kurz: DGL) versteht man eine Gleichung, in der eine Funktion (hier x) zusammen mit ihrer Ableitung (hier x ·· ) vorkommt. Zur Erinnerung: x ist hier deshalb eine Funktion, weil der Ort x von der Zeit t abhängt. Man nennt die Funktion x(t) häufig auch Ortsfunktion. Als Lösung einer Differentialgleichung sucht man also keinen bestimmten Zahlenwert, sondern eine Funktion.

In Worten ausgedrückt sagt die obige Differentialgleichung:

„Die zweite Ableitung der Ortsfunktion nach der Zeit ergibt wieder die Ortsfunktion mal einer negativen Konstanten.“

Schwingungen, die durch eine solche Differentialgleichung beschrieben werden, nennt man harmonische Schwingungen.

Video 4: Lösung der Differentialgleichung (C) .



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Abbildung 4.6.8: Harmonische Schwingung  (C)

 
Um die Differentialgleichung zu lösen, sucht man also nach einer bestimmten Funktion x(t), die man dort einsetzen kann, um die Gleichung zu erfüllen. Es ist bekannt, dass man nach zweifacher Ableitung der Sinus-Funktion wieder die Sinus-Funktion erhält, allerdings mit negativem Vorzeichen. Sie erfüllt demnach genau die Kriterien der gesuchten Lösung. Man macht daher den Ansatz:

x(t)= x max  sin(ωt+ φ0 ) .

Die Größe x max ist dabei die maximale Auslenkung der Masse aus der Ruhelage, die während eines Schwingungsvorgangs auftritt. Man nennt sie auch die Amplitude der Schwingung.

Die Größe φ0 ist die sogenannte Anfangsphase. Beginnt die Schwingung zur Zeit t=0 mit einer maximalen positiven Auslenkung, so ist φ0 =π/2, denn sin(π/2)=1. Beginnt die Schwingung in der Nulllage, so ist φ0 =0, denn sin(0)=0. Auch beliebige andere Anfangsphasen sind möglich.

Video 5: Lösung der Differentialgleichung (C) .



Man erhält für die Ableitungen nach der Zeit:

x · (t) = ω  x max  cos(ωt+ φ0 ) , x ·· (t) = - ω2   x max  sin(ωt+ φ0 ) .

Eingesetzt in die Differentialgleichung erhält man:

- ω2   x max  sin(ωt+ φ0 )=- D m   x max  sin(ωt+ φ0 ) .

Daraus folgt unmittelbar:

ω= D m  .

Das Federpendel wird also durch die Ortsfunktion

x(t)= x max  sin(ωt+ φ0 )

beschrieben, wobei sich die Kreisfrequenz ω gemäß obiger Formel berechnen lässt.

Video 6: Beispiel zur harmonischen Schwingung (C) .



Beispiel 4.6.7  
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Abbildung 4.6.9: Federpendel  (C)

 
Ein Federpendel wird mit einer Feder der Härte D=2500 N/m konstruiert. Bestimmen Sie die Masse m des Körpers, der an die Feder angehängt wird, so, dass das Federpendel mit einer Periodendauer von T=1 s schwingt.



Video 7: Beispiel zur harmonischen Schwingung (1) (C) .



Video 8: Beispiel zur harmonischen Schwingung (2) (C) .



Video 9: Beispiel zur harmonischen Schwingung (3) (C) .



Beispiel 4.6.8  
Ein Federpendel wird mit einer Feder der Härte D=900 N/m und einem Körper der Masse m=4 kg konstruiert. Die Feder wird um 12 cm gedehnt, der Körper wird in dieser Position aus der Ruhe losgelassen.

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Abbildung 4.6.10: Federpendel  (C)

  1. Berechnen Sie die Periodendauer der Schwingung.

  2. Bestimmen Sie die Koeffizienten x max und φ0 zur Beschreibung der Schwingung

    x(t)= x max sin(ωt+ φ0 ) .



  3. Berechnen Sie die Geschwindigkeit v max , mit der der Körper die Ruhelage des Pendels passiert.





 

Darstellung als Projektion einer Kreisbewegung (+)


Video 10: Harmonische Schwingung im Vergleich zur Kreisbewegung (C) .



Wie oben bereits erwähnt, gibt die Funktion

x(t)= x max  sin(ωt+ φ0 )

auch die x-Komponente eines Vektors der Länge x max an, der mit der Winkelgeschwindigkeit ω um den Ursprung des Koordinatensystems rotiert. Die Bewegung einer harmonischen Schwingung entspricht also der Projektion einer Kreisbewegung auf eine Koordinatenachse.

Diese Tatsache ist in der folgenden animierten Skizze dargestellt. Im rechten Teil ist die entsprechende Kreisbewegung eines Massenpunktes um den Ursprung im Abstand x max und mit der Periodendauer T gezeigt. Im linken Teil sieht man dann die Projektion auf die nach oben verlaufende x-Achse. Es entsteht eine harmonische Schwingung, wobei als Graph die Amplitude zur Zeit t gezeigt ist. Eine negative Zeit t bedeutet die Betrachtung der Schwingung – und damit die Lage der Amplitude – in der Vergangenheit, also zu einem Zeitpunkt |t|, zu dem der Massenpunkt vor der aktuellen Position ( t=0) lag.

Sie können die Parameter T (Periodendauer) und x max (Maximal-Amplitude) über Schieberegler einstellen. Beobachten Sie, wie sich die Schwingung bei verschieden gewählten Werten von T und x max ändert.

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Diese Interaktion wurde mit GeoGebra erstellt (www.geogebra.org)


 

Potentielle und kinetische Energie (+)


Video 12: Potentielle und kinetische Energie bei der harmonischen Schwingung (C) .



Während der Schwingungsdurchläufe verteilt sich die Gesamtenergie des Systems periodisch zwischen potentieller und kinetischer Energie. Im Fall der an einer Feder schwingenden Masse ergibt sich für die potentielle Energie:

E pot = 1 2 D x2 = 1 2 D ( x max  sin(ωt+ φ0 ))2 = 1 2 D( x max )2 (sin(ωt+ φ0 ))2  .



Für die kinetische Energie erhält man

E kin = 1 2 m v2 = 1 2 m x · 2 = 1 2 m (ω x max cos(ωt+ φ0 ))2 = 1 2 m ω2 ( x max )2 (cos(ωt+ φ0 ))2 = 1 2 D( x max )2 (cos(ωt+ φ0 ))2  ,

da ω=D/m gilt.

Für die Gesamtenergie des Systems E sys erhält man dann

E sys = E pot + E kin = 1 2 D( x max )2 [ (cos(ωt+ φ0 ))2 + (sin(ωt+ φ0 ))2 ] = 1 2 D( x max )2  ,

denn es gilt: (sinφ )2 +(cosφ )2 =1.

Dies bedeutet, dass die Gesamtenergie während des Schwingungsvorgangs konstant bleibt. Es ändert sich nur die Verteilung auf die Energieformen, in denen sie vorliegt. Der für die Gesamtenergie E sys berechnete Wert ist gut einzusehen. Denn bei der maximalen Auslenkung x max steckt die Gesamtenergie des Systems vollständig in der potentiellen Energie.

Der Wechsel der Energieformen wird nochmal in der folgenden animierten Skizze veranschaulicht. In Rot ist die potentielle Energie, in Grün die kinetische Energie gezeichnet. Bei maximaler Auslenkung steckt die Energie des Systems in der potentiellen Energie (maximale Dehnung der Feder), die kinetische Energie ist null (Masse in Ruhe am Umkehrpunkt). Beim Nulldurchgang steckt die Energie in der kinetischen Energie (Maximalgeschwindigkeit beim Nulldurchgang), während die potentielle Energie null ist (keine Dehnung der Feder).

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Diese Interaktion wurde mit GeoGebra erstellt (www.geogebra.org)

 

Das Fadenpendel (+)


Video 13: Fadenpendel: Linearisierung der Rückstellkraft (C) .



Alle Systeme, die eine Rückstellkraft aufweisen, die proportional zur Auslenkung ist, führen auf die bekannte Differentialgleichung einer harmonischen Schwingung. Ein weiteres bekanntes Beispiel hierfür ist das Fadenpendel. Hier wirkt als Rückstellkraft die Komponente der Gewichtskraft des Pendelkörpers, die senkrecht zur Pendelschnur steht. Die folgende Skizze zeigt die Geometrie beim Pendel:

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Diese Interaktion wurde mit GeoGebra erstellt (www.geogebra.org)

Die Auslenkung der Pendelmasse ist die Bogenlänge s in der Skizze. Für die rücktreibende Kraft F → erhält man

F= F G  sinφ≈ F G  φ = F G   s l  .

Für kleine Winkel φ kann man als sehr gute Näherung folgenden Zusammenhang betrachten:

sinφ≈φ .

Damit gilt:

F G  sinφ≈ F G  φ .



Video 14: Fadenpendel: Schwingungsgleichung und Schwingungsdauer (C) .



Dies hat den Vorteil, dass man φ nun leicht mit Hilfe der Auslenkung s formulieren kann, denn der Auslenkungswinkel φ verhält sich zu 360 ∘ ( =2π) genauso wie s zum Kreisumfang 2πr mit Radius r:

φ 2π = s 2πr  .

Berücksichtigt man zudem, dass der Radius r im Falle des Pendels gerade die Fadenlänge l ist, erhält man:

φ= s l  .

Dies führt zu folgendem Ausdruck für die rücktreibende Kraft:

F≈ F G  φ = F G   s l  .

Aus dem zweiten newtonschen Axiom erhält man dann

F = m a ⇔  - F G   s l = m  s ·· ⇔  - mg l  s = m  s ·· ⇔  s ·· = - g l  s .



Der Vergleich mit der Differentialgleichung der Federschwingung ergibt eine harmonische Schwingung mit der Kreisfrequenz

ω= g l  .

Damit ergibt sich als Schwingungsdauer

T= 2π ω =2π l g  .

Beachten Sie, dass die Schwingungsdauer eines Fadenpendels nur von der Länge des Fadens, aber nicht von der Masse des Pendelkörpers abhängt!


Eine sehr schöne Demonstration zur Schwingungsdauer des Pendels finden Sie im ersten Teil der Aufzeichnung einer Vorlesung von Prof. Walter Lewin vom MIT, Boston:

Wenn im Aufgabentext nicht anders angegeben, geben Sie die Ergebnisse auf ganze Zahlen gerundet an. Bei Angaben in wissenschaftlicher Schreibweise (Exponentialschreibweise) runden Sie auf zwei Nachkommastellen.
Falls nicht anders angegeben, verwenden Sie g=9,81  m s2  .