4.1.10 Kräftebehandlung in der Technischen Mechanik: Freikörperbild

An dieser Stelle wird beispielhaft anhand der bereits bekannten Anordnung der schiefen Ebene die Sichtweise bzw. die Herangehensweise der Technischen Mechanik kurz erläutert.

 

Allgemeine Prinzipien
Alle Kräfte zwischen zwei Körpern unterliegen dem Reaktionsprinzip, d.h. zu einer gegebenen Kraft (Körper $1$ wirkt auf Körper $2$) gehört immer eine entsprechende Gegenkraft (Körper $2$ wirkt auf Körper $1$), die der ersten vektoriell entgegengesetzt gleich ist: ${\overrightarrow{F}}_{1\to 2}=-{\overrightarrow{F}}_{2\to 1}$. Dies ist die Aussage des dritten Newtonschen Axioms, siehe Abschnitt 4.1.8.

Aufgrund dessen kann ein beliebiges Teilsystem eines gesamten Gebildes vom Rest isoliert betrachtet werden, indem man die an den Grenzflächen wirkenden Kräfte innerhalb des Gebildes in Kräfte von außen nach innen und Kräfte von innen nach außen zerlegt. Auf das isolierte Teilsystem wirken dann äußere Kräfte, einerseits in Form von sogenannten Reaktionskräften an den Grenzflächen des Teilsystems zum Gesamtsystem und andererseits sogenannte eingeprägte Kräfte, die von außen auf das Gesamtsystem wirken, wie spezielle Lasten oder die Gravitationskraft. Die Abtrennung eines Teilsystems auf der Basis von Kräften bezeichnet man als Freimachen oder Freischneiden und führt auf das sogenannte Freikörperbild.

Beim Freimachen werden die nachfolgend aufgeführten Schritte durchgeführt. Dabei ist zu beachten, dass Kräfte im Allgemeinen gebundene Vektoren sind, die man entlang ihrer Wirklinie verschieben kann. Es werden nur äußere Kräfte berücksichtigt.

• Das Teilsystem wird isoliert ohne angrenzende Systemteile gezeichnet.
  
  
• Für alle (äußeren) Kräfte werden (soweit möglich) die Angriffspunkte und die Wirklinien festgelegt.
  
  
• Dabei ist auch der jeweilige Richtungssinn der Kraft in Bezug auf das Teilsystem festzulegen.
  
  

Die Kräfte kann man dann zeichnerisch oder rechnerisch bestimmen, indem man die Gleichgewichtsbedingungen verwendet (siehe auch Abschnitt 4.1.2):

• Die Summe aller Kräfte verschwindet im statischen Fall. Dieses Kräftegleichgewicht gilt dann für jede Kraftkomponente in Bezug auf ein kartesisches Koordinatensystem:
  
  ${\displaystyle \sum _i{\overrightarrow{F}}_i=\overrightarrow{0}}$
  bzw. komponentenweise für zwei Dimensionen:
   
  
  ${\displaystyle \sum _i{F}_{i,x}=0\hspace{0.5em},}$${\displaystyle \hspace{0.5em}\hspace{0.5em}\sum _i{F}_{i,y}=0\hspace{0.5em}.}$
  
  
  
• Die Summe aller Drehmomente (siehe Abschnitte 4.1.2 und 4.5.2) bezüglich eines beliebigen Nullpunkts verschwindet. Dies ist insbesondere dann bereits implizit erfüllt, wenn sich die Wirklinien aller Kräfte in einem Punkt schneiden. Im Fall dreier nichtverschwindender Kräfte ist letzteres auch notwendig.
  
  

Diese Methode der Bestimmung von Kräften stellt ein vereinheitlichtes systematisches Verfahren dar, welches nun auf die Kräftezerlegung der schiefen Ebene angewandt wird.

 

Anwendung auf die schiefe Ebene
Waagerechte Ebene: Auf einer nicht geneigten, waagerechten Ebene liege ein Körper der Masse $m$. Zunächst wirkt auf den Körper die Gewichtskraft ${\overrightarrow{F}}_{\text{G}}=m\overrightarrow{g}$. Da der Körper sich in Ruhe befindet und somit die Summe der Kräfte verschwindet, muss der Gewichtskraft eine Zwangskraft ${\overrightarrow{F}}_{\text{Zwang}}$ entgegenwirken. Die Zwangskraft wirkt zwischen dem Körper und der Unterlage, während die Gewichtskraft zwischen dem Körper und der Erde wirkt. Die Wirklinien der Gewichtskraft und der Zwangskraft gehen dabei durch den Körper (Schwerpunkt, mittig; sind hier dieselben), und das Kräftegleichgewicht führt direkt auf ${\overrightarrow{F}}_{\text{G}}+{\overrightarrow{F}}_{\text{Zwang}}=0$.
 


Schiefe Ebene mit großer Reibung:
Im nächsten Fall sei die Ebene um einen Winkel $\alpha$ gegenüber der Waagerechten geneigt, siehe Skizze, wobei die Reibung – siehe auch Abschnitt 4.1.4 – so groß sei, dass der Körper nicht rutscht. Die Gewichtskraft zeigt dabei wieder senkrecht zur Horizontalen nach unten, und die Ebene bewirkt einerseits wieder eine Zwangskraft (Normalkraft, ${\overrightarrow{F}}_{\text{Zwang}}=\overrightarrow{N}$) senkrecht zu ihr, deren Wirklinie, die prinzipiell zwischen den extremalen Auflagepunkten des Körpers liegen kann, noch festzulegen ist. Zusätzlich bewirkt die Ebene eine tangentiale Kraft (Reibungskraft, ${\overrightarrow{F}}_{\text{R}}=\overrightarrow{T}$) hangaufwärts entlang derselben, sodass die Wirklinie demnach innerhalb der Ebene verläuft. Damit treffen sich die Wirklinien von $\overrightarrow{N}$ und $\overrightarrow{T}$, siehe Freikörperbild in der Skizze rechts, am Schnittpunkt der Wirklinie von ${\overrightarrow{F}}_{\text{G}}$ mit der Ebene, sodass die Wirklinie von $\overrightarrow{N}$ zur Erfüllung des Momentengleichgewichts auch durch diesen Punkt gehen muss. (Befände sich dieser Punkt außerhalb der äußeren Auflagepunkte des Körpers, dann läge kein Gleichgewicht bezüglich der Standfestigkeit vor, siehe auch Abschnitt 4.1.2, sodass der Körper umkippen würde.) Das Verschwinden der Gesamtkraft führt auf die bekannten Ausdrücke $N=F_{\text{G}}\cos \alpha$ und $T=F_{\text{G}}\sin \alpha$. Im linken Teilbild wurden die sich ergebenden Kräfte der Übersichtlichkeit halber – und damit lediglich das Kräftegleichgewicht betrachtend – in den Schwerpunkt des Körpers verschoben gezeichnet.
 


Schiefe Ebene ohne Reibung:
Schließlich wird der Fall der reibungsfreien schiefen Ebene betrachtet; die Geometrie entspricht dabei der des vorhergehenden Falles der Ebene mit großer Reibung. Mit Gewichtskraft ${\overrightarrow{F}}_{\text{G}}$ und Normalkraft $\overrightarrow{N}$ allein befindet sich der Körper nicht im statischen Gleichgewicht; er wird stattdessen mit konstanter Beschleunigung den Hang hinab beschleunigt, siehe auch Abschnitt 4.2.1. Die resultierende Kraft kann kompensiert werden, wenn man auf den Körper parallel zur Ebene mit einer Wirklinie durch den Schwerpunkt eine die Hangabtriebskraft $\overrightarrow{H}$ kompensierende Kraft $-{\overrightarrow{F}}_{\text{res}}=-\overrightarrow{H}$ wirken lässt. Aus dem Momentengleichgewicht ergibt sich hier damit eine durch den Schwerpunkt verlaufende Wirklinie für $\overrightarrow{N}$, siehe Skizze rechts. Das Verschwinden der Kräftesumme führt dann mit der bekannten Kräftezerlegung der Gewichtskraft auf $N=F_{\text{G}}\cos \alpha$ und mit $\overrightarrow{H}={\overrightarrow{F}}_{\text{G}}+\overrightarrow{N}$, siehe auch das linke Teilbild der Skizze, zu $H=F_{\text{G}}\sin \alpha$.