8.2.4 Doppler-Effekt

 

Doppler-Effekt (*)
Herleitung


Annahme: Eine Quelle sendet eine Welle aus, die sich in der Zeit $\Delta t=\text{Periode} T$ um die Entfernung $\lambda$ nach rechts bewegt. In der gleichen Zeit haben sich Quelle und Empfänger um die Entfernungen $\Delta s_{\text{Q}}$ bzw. $\Delta s_{\text{E}}$ bewegt. Jetzt sendet die Quelle eine neue Welle aus.


Abstand zwischen den Wellenfronten (= empfundene Wellenlänge)

${\displaystyle {\lambda }_{\text{emp}}=\lambda -\Delta s_{\text{Q}}\hspace{0.5em}.\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}\text{(1)}}$
Die Wellenlängen ergeben sich zu

${\displaystyle \lambda =\frac{c}{f_{\text{Q}}}\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}\text{(2)}\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}\text{und}\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}{\lambda }_{\text{emp}}=\frac{c-v_{\text{E}}}{f_{\text{E}}}\hspace{0.5em}.\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}\text{(3)}}$
Zu (3): Wenn der Empfänger sich bewegt, empfindet er eine um den Betrag seiner eigenen Geschwindigkeit verringerte Ausbreitungsgeschwindigkeit.
Von der Quelle zurückgelegter Weg

${\displaystyle \Delta s_{\text{Q}}=v_{\text{Q}}T=\frac{v_{\text{Q}}}{f_{\text{Q}}}\hspace{0.5em}.\hspace{0.5em}\hspace{0.5em}\text{(4)}}$
Einsetzen von (2–4) in (1):

${\displaystyle \frac{c-v_{\text{E}}}{f_{\text{E}}}=\frac{c}{f_{\text{Q}}}-\frac{v_{\text{Q}}}{f_{\text{Q}}}=\frac{c-v_{\text{Q}}}{f_{\text{Q}}}\hspace{0.5em}.}$
Umformen liefert

${\displaystyle f_{\text{E}}=\left(\frac{c-v_{\text{E}}}{c-v_{\text{Q}}}\right)f_{\text{Q}}\hspace{0.5em}.}$
Hinweise

• Vorzeichenregelung: Pos. Vorzeichen immer in Ausbreitungsrichtung der Wellen zum Empfänger. Die Vorzeichen von $v_{\text{Q},\text{E}}$ werden dann relativ dazu definiert.
  
  
• Wenn sich das Medium nicht in Ruhe befindet (z.B. bei Wind im Medium Luft), ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit $c$ durch $c^{*}=c\pm v_{\text{Medium}}$ zu ersetzen.
  
  
• Gl. (8.2.1) gilt nur für $v_{\text{Q, E}}<c$. Würde sich z.B. eine Schallquelle mit Schallgeschwindigkeit bewegen, wäre die empfundene Wellenlänge Null (vgl. „Schallmauer“).
  
  

Wenn die Quelle elektromagnetische Wellen mit Lichtgeschwindigkeit aussendet, gilt Gl. (8.2.1) ebenfalls nicht. Für hohe Geschwindigkeiten von Quelle und Empfänger müssten relativistische Effekte (Zeitdilatation) berücksichtigt werden.
Wenn die Geschwindigkeiten von Quelle und Empfänger aber sehr klein im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit sind, kann eine Näherung verwendet werden, die hier hergeleitet wird:

Umformung von Gl. (8.2.1)	$f_{\text{E}}=\left(\frac{1-v_{\text{E}}/c}{1-v_{\text{Q}}/c}\right)f_{\text{Q}}=(1-\frac{v_{\text{E}}}{c})·\frac{1}{1-\frac{v_{\text{Q}}}{c}}·f_{\text{Q}}$
Annäherung des mittleren Terms durch eine Taylorreihe (mit $x=v_{\text{Q}}/c$):	$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+\cdots$

Mathematischer Hintergrund:
Der mittlere Term ist eine nicht-lineare Funktion (Hyperbel). Es ist eine gängige Praxis, nicht-lineare Funktionen zu linearisieren (durch eine Gerade ersetzen), indem man sie zunächst durch eine „Taylorreihe“ (oder auch Potenzreihe) ausdrückt, die unendlich viele Terme enthält und (für $|x|<1$) gegen die nicht-lineare Funktion konvergiert. Für kleine Werte von $x$ können die höheren Potenzen vernachlässigt werden. Man ersetzt also die nicht-lineare Funktion in einem engen Bereich (hier $x\approx 0$) durch ihre Tangente. Physikalisch gesehen muss die Geschwindigkeit $v_{\text{E}}$ in diesem Fall also deutlich kleiner als die Lichtgeschwindigkeit $c$ sein.

mit $\frac{1}{1-x}\approx 1+x$	$f_{\text{E}}\approx (1-\frac{v_{\text{E}}}{c})·(1+\frac{v_{\text{Q}}}{c})·f_{\text{Q}}$
Ausmultiplizieren der Klammer:	$f_{\text{E}}\approx (1+\frac{v_{\text{Q}}-v_{\text{E}}}{c}+\frac{v_{\text{E}}{v}_{\text{Q}}}{c^2})·f_{\text{Q}}$
mit $v_{\text{rel}}=v_{\text{Q}}-v_{\text{E}}$ und $\frac{v_{\text{E}}{v}_{\text{Q}}}{c^2}\approx 0$	$f_{\text{E}}\approx (1+\frac{v_{\text{rel}}}{c})f_{\text{Q}}$

(Hier nimmt man an, dass beide Geschwindigkeiten $v_{\text{E},\text{Q}}$ sehr klein gegenüber $c$ sind.)

Umformen liefert die Näherung	$\frac{\Delta f}{f_{\text{Q}}}\approx \frac{v_{\text{rel}}}{c}$

Bei der Näherung gelten die gleichen Vorzeichenregelungen wie in den Hinweisen weiter oben beschrieben, d.h. wenn sich der Empfänger z.B. auf die Quelle zubewegt, muss „$-v_{\text{E}}$“ für „$v_{\text{E}}$“ eingesetzt werden (und dann ist $v_{\text{rel}}=v_{\text{Q}}+v_{\text{E}}$). Gleiches gilt für die Quelle, wenn sie sich vom Empfänger wegbewegt.

Technische Anwendungen
Laser-Doppler-Anemometer (Geschwindigkeitsmessung), Ultraschalldiagnostik, uvm.