8.2.4 Dopplereffekt



 

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Dopplereffekt (*)
Herleitung
Annahme: Eine Quelle sendet eine Welle aus, die sich in der Zeit Δt= Periode  T um die Entfernung λ nach rechts bewegt. In der gleichen Zeit haben sich Quelle und Empfänger um die Entfernungen Δs bewegt. Jetzt sendet die Quelle eine neue Welle aus.
././Physikkurs/wellenausbreitung_dopplereffekt/images/ausbreitung10.png
Abbildung 8.2.132: Bewegte Quelle und bewegter Empfänger (C)

Abstand zwischen den Wellenfronten (= empfundene Wellenlänge)

λE =λ-Δ sQ    (1)

Die Wellenlängen ergeben sich zu

λ= c fQ    (2)    und    λE = c- vE fE    (3)

zu (3): wenn der Empfänger sich bewegt, empfindet er eine um den Betrag seiner eigenen Geschwindigkeit verringerte Ausbreitungsgeschwindigkeit.
von der Quelle zurückgelegter Weg

Δ sQ = vQ T= vQ fQ    (4)

Einsetzen von (2-4) in (1)

c- vE fE = c fQ - vQ fQ = c- vQ fQ

Umformen liefert

fE =( c- vE c- vQ ) fQ

Dopplereffekt
Wenn sich eine Quelle relativ zu einem Empfänger bewegt, nimmt dieser eine höhere oder tiefere Frequenz wahr, als von der Quelle ausgesendet wird.
Auf Grund der Relativbewegung ändert sich die Wellenlänge des Signals. Diese Erscheinung nennt man Dopplereffekt.
././Physikkurs/wellenausbreitung_dopplereffekt/images/ausbreitung11.png
Abbildung 8.2.133: Dopplereffekt (C)

Vom Empfänger wahrgenommene Frequenz

fE =( c- vE c- vQ ) fQ (8.2.1)


Hinweise
  • Vorzeichenregelung: Pos. Vorzeichen immer in Ausbreitungsrichtung der Wellen zum Empfänger. Die Vorzeichen von v E,Q werden dann relativ dazu definiert.

  • Wenn sich das Medium nicht in Ruhe befindet (z.B. bei Wind im Medium Luft), ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit c durch c* =c± v Medium zu ersetzen.

  • Glg. (8.2.1) gilt nur für v Q, E <c. Würde sich z.B. eine Schallquelle mit Schallgeschwindigkeit bewegen, wäre die empfundene Wellenlänge Null (vgl. „Schallmauer“)

Wenn die Quelle elektromagnetische Wellen mit Lichtgeschwindigkeit aussendet, gilt Glg. (8.2.1) ebenfalls nicht. Für hohe Geschwindigkeiten von Quelle und Empfänger müssten relativistische Effekte (Zeitdilatation) berücksichtigt werden.
Wenn die Geschwindigkeiten von Quelle und Empfänger aber sehr klein im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit sind, kann eine Näherung verwendet werden, die hier hergeleitet wird:
Umformung von Glg. (8.2.1) fE =( 1- vE /c 1- vQ /c ) fQ =(1- vE c )· 1 1- vQ c · fQ
Annäherung des mittleren Terms durch eine Taylorreihe (mit x= vQ /c): 1 1-x =1+x+ x2 + x3 + x4 +
Mathematischer Hintergrund:
Der mittlere Term ist eine nicht-lineare Funktion (Hyperbel). Es ist eine gängige Praxis, nicht-lineare Funktionen zu linearisieren (durch eine Gerade ersetzen), indem man sie zunächst durch eine „Taylorreihe“ (oder auch Polynomfunktion) ausdrückt, die unendlich viele Terme enthält und gegen die nicht-lineare Funktion konvergiert. Für kleine Werte von x können die höheren Potenzen vernachlässigt werden. Man ersetzt also die nicht-lineare Funktion in einem engen Bereich (hier x0) durch ihre Tangente. Physikalisch gesehen muss die Geschwindigkeit vE in diesem Fall also deutlich kleiner als die Lichtgeschwindigkeit c sein.
mit 1 1-x 1+x fE (1- vE c )·(1+ vQ c )· fQ
Ausmultiplizieren der Klammer: fE (1+ vQ - vE c + vE vQ c2 )· fQ
mit v rel = vQ - vE und vE vQ c2 0 fE (1+ v rel c ) fQ
(hier nimmt man an, dass beide Geschwindigkeiten v E,Q sehr klein gegenüber c sind)
Umformen liefert die Näherung Δf fQ v rel c
Näherung für elektromagnetische Wellen
Vom Empfänger wahrgenommene Frequenz

Δf fQ v rel c

mit v rel = vQ - vE Relativgeschwindigkeit zw. Quelle und Empfänger
Δf= fE - fQ Vom Empfänger wahrgenommene Frequenzerhöhung
Bei der Näherung gelten die gleichen Vorzeichenregelungen wie in den Hinweisen weiter oben beschrieben, d.h. wenn sich der Empfänger z.B. auf die Quelle zubewegt, muss - vE für vE eingesetzt werden (und dann ist v rel = v Q + v E ). Gleiches gilt für die Quelle, wenn sie sich vom Empfänger wegbewegt.

Technische Anwendungen
Laser-Doppler-Anemometer (Geschwindigkeitsmessung), Ultraschalldiagnostik, uvm.
Beispiel 8.2.7  
Sie werden in einer 30-er Zone bei einer Polizeikontrolle geblitzt. Das Radargerät sendet bei der Bestimmung der Geschwindigkeit elektromagnetische Wellen mit der Frequenz fR =1,5GHz aus. Die Radarwellen laufen zum Auto, werden dort reflektiert, und das Radargerät misst einen Frequenzunterschied zwischen gesendeter und empfangener Frequenz von Δf=165Hz. Sie wissen, dass ab einer Geschwindigkeitsüberschreitung von 31km/h ein Fahrverbot ausgesprochen wird. Müssen Sie bald Fahrrad fahren?