3.1.2 Physikalische Vektorgrößen

 

Basiswissen „Skalare“


Für den Umgang mit skalaren Größen gelten die bisher bekannten Regeln für Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division, die man schon zu Beginn der Schulzeit lernt. Es sei jedoch darauf hingewiesen, dass Summen oder Differenzen nur gebildet werden können, wenn alle Summanden die gleiche Einheit besitzen. Bei Produkten oder Quotienten können die Einheiten der Größen verschieden sein, wie zum Beispiel bei der Geschwindigkeit, $\left[v\right]=\mathrm{m}/\mathrm{s}$.


 

Basiswissen „Physikalische Vektorgrößen“
Neben den Skalaren gibt es jedoch auch Größen, die zusätzlich zu einem Zahlenwert und der zugehörigen Einheit noch eine Richtung besitzen, zum Beispiel die Geschwindigkeit eines Körpers oder auch Kräfte. Solche Größen werden als Vektoren bezeichnet. Vektorgrößen werden durch einen Pfeil über dem Buchstaben gekennzeichnet, z.B. $\overrightarrow{v}$, $\overrightarrow{F}$. In manchen Lehrbüchern werden vektorielle Größen auch fett gedruckt.
Anschaulich werden Vektoren in Skizzen durch Pfeile dargestellt. Dabei entspricht die Länge des Pfeils dem Betrag der Größe und die Richtung des Pfeils weist in die Richtung der Größe. Skizziert man ein fahrendes Auto, zeigt der Pfeil in die Richtung, in die das Auto fährt, und die Länge des Pfeils entspricht dem Betrag seiner Geschwindigkeit auf einer vorher festgelegten Skala (zum Beispiel $1\hspace{0.17em}\mathrm{}\mathrm{c}\mathrm{m}\widehat{=}1\hspace{0.17em}\mathrm{}\mathrm{m}/\mathrm{s}$).
Vektoren können addiert oder subtrahiert werden. Anschaulich ist dies in der Skizze unten dargestellt. Zunächst soll der einfachste Fall dargestellt werden. Die beiden Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ zeigen in dieselbe Richtung. Um diese beiden Vektoren zu addieren, wird der Fußpunkt des einen Vektors an die Spitze des anderen Vektors gesetzt. Das Ergebnis ist ein Vektor, der in die gleiche Richtung zeigt und so lang ist wie beide Vektoren hintereinander.

Bei der Multiplikation eines Vektors mit einer positiven Zahl wird der Vektor so oft wie gewünscht hintereinander gesetzt, im Beispiel dreimal. Es sind jedoch auch Werte kleiner eins möglich, dann erhält man einen kürzeren Vektor als zuvor. Ist die Zahl negativ, ändert sich die Richtung des Vektors, bildlich gesprochen zeigt der Pfeil in die andere Richtung.

Es können jedoch auch zwei Vektoren, die in beliebige Richtungen zeigen, addiert oder subtrahiert werden. Bei der Addition wird der Anfangspunkt des einen Vektors an den Endpunkt des anderen Vektors geschoben. Der resultierende Vektor $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ verbindet den Anfangspunkt des ersten mit dem Endpunkt des zweiten Vektors. Bei der Subtraktion $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ wird zuerst der Gegenvektor zu $\overrightarrow{b}$ gebildet und dieser dann zu Vektor $\overrightarrow{a}$ addiert. In der Skizze sieht man, dass die Richtung und auch die Länge des resultierenden Vektors nun von der Lage der beiden Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ zueinander abhängt.

Wie können der Betrag und die Richtung des resultierenden Vektors rechnerisch ermittelt werden? Die Anfertigung einer Skizze ist hier immer hilfreich. Es sollen der Betrag der beiden Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ und der Winkel $\alpha$, der zwischen den beiden Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ eingeschlossen ist, bekannt sein. Im einfachsten Fall ist der Winkel $\alpha =90{}^{\circ }$, wie unten in der Skizze links dargestellt ist. Der Betrag des resultierenden Vektors wird in diesem Fall einfach über den Satz des Pythagoras berechnet:

${\displaystyle |\overrightarrow{c}{|}^2=|\overrightarrow{a}{|}^2+|\overrightarrow{b}{|}^2\hspace{0.5em}.}$
Die Richtung des resultierenden Vektors kann dann in Bezug zu den anderen Vektoren angegeben werden. Der Winkel $\phi$, der zwischen Vektor $\overrightarrow{b}$ und dem Vektor $\overrightarrow{c}$ liegt, kann mit den Winkelfunktionen bestimmt werden:
 
Im allgemeinen Fall ist der zwischen den Vektoren eingeschlossene Winkel $\alpha$ beliebig. Die nachfolgende Skizze zeigt, dass hier einige geometrische Überlegungen notwendig sind. Betrachten wir zuerst die Winkel im Parallelogramm. Der Winkel $\alpha$ tritt am Anfang und am Ende des Vektors $\overrightarrow{c}$ auf, ebenso kommt der Winkel $\gamma$ zweimal vor. In einem Viereck beträgt die Winkelsumme 360°. Damit ergibt sich für den Winkel:

${\displaystyle \gamma =\frac{1}{2}(360{}^{\circ }-2·\alpha )=180{}^{\circ }-\alpha }$
und der Kosinussatz ergibt:

${\displaystyle |\overrightarrow{c}{|}^2=|\overrightarrow{a}{|}^2+|\overrightarrow{b}{|}^2-2·|\overrightarrow{a}|·|\overrightarrow{b}|·\cos \left(\gamma \right)\hspace{0.5em}.}$
Zur Berechnung des Winkels zwischen dem resultierenden Vektor $\overrightarrow{c}$ und dem Vektor $\overrightarrow{a}$ kann der Sinussatz verwendet werden:
 
 
Einfache ebene Probleme mit Vektoren können durch geometrische Überlegungen und Skizzen gelöst werden. Eine weitere Möglichkeit, Problemstellungen mit Vektoren zu lösen, bietet die Vektoralgebra. Sie soll im nächsten Abschnitt erläutert werden.
Hier finden Sie die Vektoraddition am Beispiel von Kräften:
 
Animation zur Vektoraddition von Walter Fendt

 

Basiswissen „Vektoralgebra“
Eine elegante Methode zur Behandlung von Vektoren bietet die Vektoralgebra. Dabei wird ein Vektor in Bezug zu einem Koordinatensystem beschrieben. Aufgrund der besseren Anschaulichkeit betrachten wir das Problem in der Ebene, und die Achsen des Koordinatensystems sollen rechtwinklig aufeinander stehen (ein Koordinatensystem, bei dem alle Koordinatenachsen senkrecht aufeinander stehen, bezeichnet man als kartesisches Koordinatensystem). Der Vektor $\overrightarrow{a}$ liegt im Koordinatensystem mit seinem Anfangspunkt im Ursprung. Die Beschreibung des Vektors erfolgt jetzt über die Projektionen des Vektors auf die Koordinatenachsen.
Die Reihenfolge, in der die verschiedenen Koordinaten von oben nach unten aufgeführt werden, ist vorher festgelegt (z.B. $a_x$, $a_y$). Bei mehr als zwei Koordinaten enthält der Vektor entsprechend mehr Werte ($a_x$, $a_y$, $a_z$ oder $a_1$, $a_2$, $a_3$, ..., $a_n$).
Wie kann aus dieser Schreibweise nun der Betrag eines Vektors bestimmt werden? Anschaulich liegt dieser Rechnung der Satz des Pythagoras zugrunde, wie mit Hilfe der Abbildung unten zu erkennen ist. Der Vektor $\overrightarrow{a}$ besitzt als Koordinate in $x$-Richtung den Wert $a_x$ und in $y$-Richtung den Wert $a_y$:

${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}\hfill a_x\hfill \\ \hfill a_y\hfill \end{array}\right)\hspace{0.5em}.}$
In der Skizze sieht man, dass der Vektor $\overrightarrow{a}$ der Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck entspricht. Den beiden Katheten entsprechen die Projektionen des Vektors auf die Koordinatenachsen. Im Fall, dass der Vektor, dessen Betrag man berechnen möchte, mehr als zwei Komponenten hat, muss der Betrag entsprechend erweitert werden:
 
 
 
In vielen Problemstellungen ist die Richtung eines Vektors gesucht, das bedeutet, man muss den Winkel $\phi$, der zwischen zwei Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ liegt, bestimmen. Dieser lässt sich mit Hilfe des Skalarproduktes berechnen. Dabei werden zwei Vektoren skalar miteinander multipliziert und als Ergebnis erhält man einen Skalar. In der Koordinatenschreibweise werden beim Skalarprodukt jeweils die gleichen Koordinaten der beiden Vektoren miteinander multipliziert und aufsummiert. Im Fall von drei Komponenten kommt ein weiterer Summand hinzu, bei mehr als drei Komponenten muss die Gleichung entsprechend erweitert werden.
Unter dem folgenden Link können Sie den Vektor einer Kraft in zwei Komponenten zerlegen:
 
Zerlegung einer Kraft von Walter Fendt