2. Mechanik
  3. Kräfte und ihre Wirkungen
  4. Federkraft (!),(*)

4.1.5 Federkraft und hookesches Gesetz





 

Basiswissen „Kraft, Kraftmessung und hookesches Gesetz“


Kräfte kennt jeder aus dem Alltag. Um einen Ball zu werfen, muss man eine Kraft aufwenden. Um eine Zitrone auszuquetschen, muss man ebenfalls eine Kraft aufwenden. Schon diese beiden alltäglichen Beispiele zeigen, woran eine Kraft zu erkennen ist.
Eine Kraft verursacht die Änderung des Bewegungszustandes eines Körpers und / oder die Verformung eines Körpers.
Im obigen Beispiel wird der Ball durch den Wurf aus der Ruhe auf eine Geschwindigkeit v0 beschleunigt. Er ändert also seinen Bewegungszustand in eine gleichförmige Bewegung. Im zweiten Beispiel verursacht die Kraft eine Verformung der Zitrone. Es gibt natürlich auch Situationen, bei denen die wirkenden Kräfte zugleich eine Änderung des Bewegungszustandes und eine Verformung des Körpers verursachen, zum Beispiel bei einem Unfall. Hier spricht man von einer plastischen Verformung, da sie nicht reversibel ist. Das Auto bleibt nach dem Unfall verbeult.
Im Gegensatz dazu nennt man eine Verformung elastisch, wenn der Körper wieder seine ursprünglich Form annimmt, sobald keine Kraft mehr wirkt. Ein solches Verhalten findet man zum Beispiel bei Federn oder Therabändern. In einem Bereich, dem sogenannten elastischen Bereich, können Federn unter Einwirkung einer Kraft gedehnt werden und nehmen nach Ende der Krafteinwirkung ihre ursprüngliche Form und Länge wieder an. Wenn dabei die Dehnungslänge proportional zur angreifenden Kraft ist, kann dieser Effekt durch das hookesche Gesetz beschrieben werden.
Zur Ergänzung sollen noch spröde Stoffe erwähnt werden, die schon bei einer geringen plastischen Verformung zerreißen oder brechen. Ein Beispiel hierfür sind Kunststoffe die verspröden, wenn die enthaltenen Weichmacher entweichen.
Das hookesche Gesetz besagt, dass die Verlängerung s einer Feder proportional zur Kraft F ist, mit der die Feder gedehnt wird:
 
F∝s   ⟹   F=D·s .
 
Anschaulich ist dies in der Skizze dargestellt:


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Abbildung 4.1.203: Hookesches Gesetz  (C)

Der Proportionalitätsfaktor D wird als Federkonstante bezeichnet (alternativ: k). Die Federkonstante ist abhängig vom Werkstoff der Feder und von deren Geometrie. Das hookesche Gesetz gilt nur in einem gewissen Bereich (Elastizitätsbereich). Dehnt man die Feder zu stark, nimmt sie ihre ursprüngliche Form nicht mehr an. Man spricht dann von plastischer Verformung.
Die Tatsache, dass die Auslenkung einer Feder proportional zur einwirkenden Kraft ist, wird in Federwaagen genutzt. Zur Kalibrierung wird eine Feder mit verschiedenen Gewichten belastet. Es wirkt die Gewichtskraft. Auf die doppelte Masse wirkt die doppelte Gewichtskraft und führt damit zur doppelten Auslenkung. Durch das Anbringen einer Skala können Kräfte gemessen werden, wie in der Abbildung unten gezeigt ist. Für verschiedene Größenbereiche müssen verschiedene Kraftmesser verwendet werden.

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Abbildung 4.1.204: Gleiche Feder wird mit verschiedenen Gewichten belastet  (C)

Beispiel 4.1.43  
Die Feder einer Federwaage wird durch ein Gewicht von 1 kg um 2 cm verlängert. Um welchen Wert wird die Feder länger, wenn die angehängte Masse 3 kg beträgt?
Wenn die dreifache Masse angehängt wird, ist nach dem Hooke'schen Gesetz auch die Auslenkung dreimal so groß. Die Verlängerung der Feder beträgt also 6 cm.
Beispiel 4.1.44  
An eine Kraftwaage wird eine Masse von m=7,0 kg gehängt. Die Verlängerung der Feder beträgt x=14 cm. Welche Federkonstante D besitzt die verbaute Feder?
Zur Lösung der Aufgabe berücksichtigen wir das das hookesche Gesetz:

F Hooke =D·x .

Gleichzeitig wird die angehängte Masse durch die Erdanziehung in Richtung Erde beschleunigt:

F G =m·g .

Im Gleichgewichtszustand gilt dann, dass beide Kräfte gleich sein müssen, da der Körper sich nicht mehr bewegt. Durch Gleichsetzen erhält man eine Beziehung, in der die gesuchte Größe enthalten ist:
 
F Hooke = F G   ⟺   D·x=m·g .
 
Zur Vereinfachung nehmen wir für die Fallbeschleunigung g=10  m s2 an und schreiben die Längenänderung in die SI-Einheit um. Mit x=14 cm=0,14 m ergibt sich:
 
⇒ D= m·g x ​ = 7,0 kg·10  m s2 0,14 m ​ =500  N m  .
 
Bei Problemen mit Kräften, die in verschiedene Richtungen zeigen, können einfache Aufgaben mit Hilfe von geometrischen Überlegungen gelöst werden. Bei komplexeren Problemen bietet sich die Lösung mit Hilfe der Vektorrechnung an.


Wenn in den folgenden Aufgabentexten nicht anders angegeben, geben Sie die Ergebnisse auf ganze Zahlen gerundet an. Bei Angaben in wissenschaftlicher Schreibweise (Exponentialschreibweise) runden Sie auf zwei Nachkommastellen.
Falls nicht anders angegeben, verwenden Sie g=9,81  m s2  .
Aufgabe 4.1.46  
 
Wieviel Newton zeigt die Federwaage rechts in der Abbildung an?
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Abbildung 4.1.205: Skizze zur Aufgabe  (C)

Ohne weitere Angaben ist hier keine Aussage möglich.
1 N
1 4  N
4 N
 
Aufgabe 4.1.47  
 
Welche der folgenden Stoffe zeigen plastisches Verhalten?
 
Glühender Stahl beim Schmieden
Kaugummi
Butterkekse
Gummiband
 
Aufgabe 4.1.48  
 
Zwei Federn werden mit derselben Masse belastet. Die erste Feder mit der Federkonstanten D1 verlängert sich um den fünffachen Wert der zweiten Feder mit der Federkonstanten D2 . Wie verhalten sich die Federkonstanten zueinander?

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Abbildung 4.1.206: Versuchsanordnung im entspannten und belasteten Zustand  (C)

D1 =5· D2
D1 =0,5· D2
D2 =5· D1
D2 =0,5· D1
 


 

Elastizität und hookesches Gesetz (!)


Video 19: Elastizität und hookesches Gesetz (C) .



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Abbildung 4.1.207: Metallstab unter Zug  (C)

Feststoffe und die aus ihnen bestehenden Körper sind in verschiedenem Ausmaß elastisch, wenn äußere Kräfte auf sie einwirken. In der Regel gilt, dass bei nicht allzu großen Zugkräften (oben) oder Druckkräften (unten), die Dehnung oder Stauchung Δl des Körpers proportional zur Kraft ist.
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Abbildung 4.1.208: Metallstab unter Druck  (C)



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Abbildung 4.1.209: Feder unter Einwirkung von Kraft  (C)

Am Beispiel der Spannfeder erhält man als Zusammenhang zwischen der Ausdehnung s der Feder in x-Richtung und der Kraft F, mit der man hierfür an der Feder ziehen muss:

F=D s .

Man nennt D die Federkonstante, weil sie eine für eine Spannfeder charakteristische Größe ist.
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Abbildung 4.1.210: Zugkraft einer Feder  (C)

Die obige Gleichung ermöglicht es, die Kraft zu berechnen, mit der an der Feder gezogen wird. Es ist jedoch nicht die Kraft, mit der die Feder zurückzieht. Für diese gilt im Gleichgewicht, dass ihre Richtung der Zugkraft, die man von außen ausübt, entgegengesetzt ist und ihr Betrag gleich der Zugkraft ist.


Beispiel 4.1.49  
Eine Feder dehnt sich bei einer Zugkraft von 10 N um s=5 cm aus. Welche Zugkraft wird für eine Dehnung von s=8 cm benötigt?
 
D= 10 N 5 cm =2  N cm  ,    F=D s ​ =2  N cm ·8 cm ​ =16 N .
 


Skizze: In der folgenden interaktiven Skizze wird die Funktionsweise einer Federwaage illustriert, wie Sie sie wahrscheinlich aus dem Physikunterricht kennen. Verschieben Sie den Punkt am Federhaken und variieren Sie dadurch die Auslenkung der Federwaage. Die hierfür nötige Kraft wird durch den Kraftvektor angezeigt. Je größer die ziehende Kraft, um so größer ist die Auslenkung der Federwaage. Zusätzlich ist die Kraft gegen die Auslenkung als Graph aufgetragen. Man erkennt den proportionalen Zusammenhang. Die Steigung des Graphen ist gerade die Federkonstante D. Variieren Sie auch die Federkonstante D der Federwaage mit Hilfe des Schiebereglers und ändern Sie damit die Steigung des Graphen.

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Diese Interaktion wurde mit GeoGebra erstellt (www.geogebra.org)

 

Parallelschaltung von Federn (*)


Video 20: Parallelschaltung von Federn (C) .



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Abbildung 4.1.212: Parallelschaltung von Federn  (C)

Im Folgenden wird eine Situation untersucht, in der zwei Federn parallel geschaltet sind. Sie befinden sich parallel nebeneinander und sind an einem gemeinsamen Fixpunkt befestigt. Man ziehe an beiden Federn gleichzeitig. Die Federn werden um die gleiche Strecke gedehnt mit einer Gesamtkraft, die sich auf beide Federn aufteilt.
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Abbildung 4.1.213: Kräfte in der Parallelschaltung von Federn  (C)

Um die zwei Federn zu dehnen, ist also die folgende Gesamtkraft nötig:
 
F= F1 + F2 ​ = D1  s+ D2  s ​ =( D1 + D2 ) s=D s   ⟹   D= D1 + D2  .
 
Die Federkonstante des Gesamtsystems ergibt sich somit aus der Summe der beiden einzelnen Federkonstanten.


Skizze: Die Parallelschaltung zweier Federwaagen ist auch auf der folgenden interaktiven Skizze dargestellt. Im dabei entstehenden Graphen sieht man, dass sich die beiden Einzelkräfte der Federwaagen zu einer Gesamtkraft addieren. Daraus folgt, dass sich die Steigung des Graphen für das Gesamtsystem aus der Summe der Steigungen der Einzelfedern ergibt. Daher ist auch die Federkonstante des Gesamtsystems gleich der Summe der Federkonstanten der Einzelfedern.

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Diese Interaktion wurde mit GeoGebra erstellt (www.geogebra.org)

 

Serienschaltung von Federn (*)


Video 21: Serienschaltung von Federn (C) .



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Abbildung 4.1.215: Serienschaltung von Federn  (C)

Nun wird eine Situation untersucht, in der zwei Federn in Reihe geschaltet sind. Die eine Feder ist an der anderen befestigt. Man ziehe nun an einer der beiden Federn, über die dann die Zugkraft auf die andere Feder übertragen wird, d.h. beide Federn werden mit der gleichen Kraft gedehnt.
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Abbildung 4.1.216: Kraft und Gegenkraft, die auf die Federn wirken  (C)

Die Dehnung des Gesamtsystems ist dabei die Summe der beiden Dehnungen der Einzelfedern:
 
s= s1 + s2 ​ = F D1 + F D2 ​ =( 1 D1 + 1 D2 ) F= 1 D  F   ⟹   1 D = 1 D1 + 1 D2  .
 
Der Kehrwert der Federkonstanten des Gesamtsystems ist also die Summe der beiden Kehrwerte der einzelnen Federkonstanten.


Skizze: Die Serienschaltung zweier Federwaagen ist auch in der folgenden interaktiven Skizze dargestellt. Die Kraft, die auf jede einzelne Federwaage wirkt, hat den gleichen Wert und ist gerade die Gesamtkraft, mit der man am System zieht. Im dabei entstehenden Graphen sieht man, dass sich bei dieser Zugkraft die beiden Dehnungsstrecken der Federwaagen zu einer Gesamtdehnung addieren. Der größere Teil der Dehnung entfällt dabei auf die weichere der beiden Federn, also auf die mit der kleineren Federkonstanten. Untersuchen Sie dies, indem Sie die Federkonstanten der beiden Einzelfedern variieren.

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Diese Interaktion wurde mit GeoGebra erstellt (www.geogebra.org)



Wenn im Aufgabentext nicht anders angegeben, geben Sie die Ergebnisse auf ganze Zahlen gerundet an. Bei Angaben in wissenschaftlicher Schreibweise (Exponentialschreibweise) runden Sie auf zwei Nachkommastellen.
Falls nicht anders angegeben, verwenden Sie g=9,81  m s2  .