4.2.1 Geschwindigkeit und Beschleunigung

Zu Illustration der Begriffe Geschwindigkeit und Beschleunigung greifen wir hier der Einführung der geradlinigen Bewegungen im Lektionstext Abschnitt 4.2.2 ein wenig vor. Dabei betrachten wir zunächst die im folgenden dargestellten Zusammenhänge als experimentell gegeben. Eine Herleitung folgt in Abschnitt 4.2.2.

 

Basiswissen „Gleichförmige Bewegung“


In diesem Abschnitt werden wir ein bisher unbekanntes Zeichen $\Delta$ verwenden. Dieses Zeichen ($\Delta$, gesprochen: Delta, ist der vierte Buchstabe des griechischen Alphabets als Großbuchstabe) steht im Allgemeinen für eine Differenz zwischen zwei Werten. In der folgenden Abbildung ist dies veranschaulicht. $t_1$ und $t_2$ bezeichnen zwei Zeitpunkte. Für das Zeitfenster zwischen diesen beiden Zeitpunkten schreibt man üblicherweise $\Delta t=t_2-t_1$. Ebenso kann diese Schreibweise für andere Differenzen verwendet werden. $s_1$ und $s_2$ kennzeichnen zwei beliebige Ortspunkte. Für das Wegstück dazwischen kann geschrieben werden: $\Delta s=s_2-s_1$.




Legt ein Körper in gleichen Zeiten $\Delta t$ gleiche Wege $\Delta s$ zurück, spricht man von einer gleichförmigen Bewegung. Verdoppelt sich der zurückgelegte Weg $s=2·\Delta s$, dann verdoppelt sich ebenfalls die benötigte Zeit $t=2·\Delta t$. Der zurückgelegte Weg und die benötigte Zeit sind zueinander proportional. Dieser Sachverhalt ist in der folgenden Abbildung dargestellt. Das rechte Schaubild zeigt die Geschwindigkeit während der Bewegung: sie bleibt unverändert. Im linken Schaubild sieht man den Zusammenhang zwischen zurückgelegter Wegstrecke und benötigter Zeit. Es ergibt sich eine Ursprungsgerade, deren Steigung der Geschwindigkeit entspricht.

Sind zwei der drei Größen bekannt, kann mit diesen und der obenstehenden Gleichung die dritte berechnet werden. Diese Überlegungen gelten so auch für nicht geradlinige Bewegungen.  

Basiswissen „Gleichmäßig beschleunigte Bewegung“


Unter einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung versteht man eine Bewegung, bei der ein Körper einer konstanten Beschleunigung ausgesetzt ist. Die Geschwindigkeit wird dabei mit zunehmender Zeit immer größer. Dabei ist die Geschwindigkeitszunahme $\Delta v$ in gleich lang dauernden Zeitintervallen $\Delta t$ immer gleich groß, d.h. die Geschwindigkeit ist proportional zur Zeit. Dieser Faktor $a$ wird als Beschleunigung bezeichnet und gibt die Zunahme der Geschwindigkeit pro Zeit an. Die lineare Erhöhung der Geschwindigkeit hat zur Folge, dass zwischen dem zurückgelegten Weg und der Zeit kein linearer Zusammenhang mehr besteht. Diese Zusammenhänge zwischen Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung und Zeit sind in den folgenden Abbildungen dargestellt. In der rechten Abbildung ist die konstante Beschleunigung als Funktion der Zeit gezeigt. Unabhängig vom betrachteten Zeitpunkt ergibt sich immer der gleiche Wert für die Beschleunigung. Im mittleren Diagramm sieht man die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit. Es ergibt sich eine Gerade, deren Steigung der Beschleunigung $a$ entspricht. Man erkennt, dass in gleichen Zeiten $\Delta t$ die Geschwindigkeit um den gleichen Wert $\Delta v$ zunimmt. In der linken Abbildung ist der zurückgelegte Weg in Abhängigkeit der Zeit zu sehen. Der zurückgelegte Weg hängt jetzt quadratisch von der Zeit ab. Deshalb ist in zwei aufeinanderfolgenden Zeitfenstern der Länge $\Delta t$ der zurückgelegte Weg nicht identisch. Der im ersten Zeitfenster $\Delta t$ zurückgelegte Weg beträgt $\Delta s_1$, während im nachfolgenden Zeitfenster der gleichen Dauer $\Delta t$ ein größeres Wegstück $\Delta s_2$ zurückgelegt wird.

Bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung können zwei Fälle unterschieden werden. Der Einfachheit halber nehmen wir bei unseren Überlegungen an, dass sich die Beschleunigung spontan von null auf den gewünschten Wert ändert. Dies entspricht zwar nicht der Realität, aber es erleichtert das Verständnis der Sachverhalte.

Fall 1: 
Der Körper wird aus der Ruhe heraus beschleunigt. Die Diagramme, die eine solche Bewegung kennzeichnen, sind identisch mit den obigen Diagrammen. Als $v$-$t$-Diagramm ergibt sich eine Ursprungsgerade mit Steigung $a$ und als $s$-$t$-Diagramm erhält man eine Parabel durch den Ursprung. Mit Hilfe dieser Formeln können nun aus zwei gegebenen (gemessenen) Größen die beiden anderen berechnet werden.

Fall 2: 
Der Körper bewegt sich mit einer Anfangsgeschwindigkeit $v_0$ und führt eine gleichförmige Bewegung aus. Zu Beginn der Beschleunigung hat der Körper dann schon eine Strecke $s_0$ zurückgelegt und wird aus der Bewegung heraus beschleunigt. Jeder kennt diesen Fall aus dem täglichen Leben. Man fährt auf der Autobahn und möchte dann ein langsameres Fahrzeug überholen.

In der Abbildung ist so ein Vorgang schematisch dargestellt. Im Zeitraum vor $t_0$ ergeben sich die gleichen Diagramme wie bei einer gleichförmigen Bewegung. Das Auto fährt konstant. Dann fängt der Überholvorgang an und eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung kommt zur gleichförmigen Bewegung hinzu.


Um hier eine Aussage über die erreichte Geschwindigkeit oder den zurückgelegten Weg machen zu können, müssen die beiden bisher verwendeten Gleichungen etwas modifiziert werden. Der Einfachheit halber wird der Nullpunkt der Zeitrechnung auf den Wert $t_0=0\hspace{0.17em}\mathrm{}\mathrm{s}$ gelegt. Der Körper bewegt sich schon mit einer Geschwindigkeit $v_0$. Jetzt kommt die Beschleunigung $a$ hinzu und verursacht eine Änderung der Geschwindigkeit. Für den zurückgelegten Weg muss ebenfalls beachtet werden, dass der Körper, bevor die Beschleunigung anfängt, schon eine Wegstrecke $s_0$ hinter sich gebracht hat. Die Geschwindigkeit $v_0$ behält der Körper bei und legt daher den Weg $v_0·t$ zurück. Die gleichzeitig wirkende gleichmäßige Beschleunigung führt außerdem zu einer Zunahme des zurückgelegten Weges gemäß $s=\frac{1}{2}·a·t^2$. Dabei bedeuten: 

• $s_0$: der Punkt, an dem die Beschleunigung zum Zeitpunkt $t_0=0\hspace{0.17em}\mathrm{}\mathrm{s}$ startet, bzw. der bereits zurückgelegte Weg.
  
  
• $v_0$: die Geschwindigkeit, mit der sich der Körper gleichförmig bewegt, bevor die Beschleunigung einsetzt. Diese muss auch während des Beschleunigungsvorganges berücksichtigt werden und trägt auch weiter zum zurückgelegten Weg bei.
  
  
• $\frac{1}{2}·a·t^2$: der durch die Beschleunigung zurückgelegte Weg.
  
  

Durch Umformen und Einsetzen können jetzt wieder mit Hilfe von bekannten Größen die anderen bisher unbekannten Größen ermittelt werden. Die ganzen Überlegungen und Formeln gelten so auch für Bewegungen, bei denen ein Körper abgebremst wird. Man spricht dann von einer Verzögerung, die sich von der Beschleunigung nur durch ein negatives Vorzeichen des Zahlenwertes unterscheidet. Diese Beispiele zeigen, dass bei einer solchen Fragestellung immer bedacht werden muss, was die Anfangs- und die Endwerte sind. Hier ist die Endgeschwindigkeit aus dem ersten Beispiel gleich der Anfangsgeschwindigkeit im zweiten Beispiel. Die Rechnung zeigt, dass die Verzögerung einen negativen Wert besitzt. Das ist natürlich verständlich, da die Geschwindigkeit bei einem Bremsvorgang immer kleiner wird.

Unter dem folgenden Link finden Sie eine Animation, die Ihnen erlaubt, mit verschiedenen Startwerten eine gleichförmige Bewegung, eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung oder einen Bremsvorgang zu simulieren:
 
Animation zur gleichmäßig beschleunigten Bewegung

Wenn in den folgenden Aufgabentexten nicht anders angegeben, geben Sie die Ergebnisse auf ganze Zahlen gerundet an. Bei Angaben in wissenschaftlicher Schreibweise (Exponentialschreibweise) runden Sie auf zwei Nachkommastellen.
Falls nicht anders angegeben, verwenden Sie $g=\mathrm{9,81}\hspace{0.17em}\mathrm{}\frac{\mathrm{m}}{{\mathrm{s}}^2}$ .