2. Mechanik
  3. Arbeit und Energie
  4. Arbeit und Leistung (!),(*),(+)

4.3.1 Arbeit und Leistung





 

Basiswissen „Arbeit und Energie“
Die physikalischen Begriffe Arbeit, Energie und Leistung sind in unserem täglichen Wortschatz enthalten – man arbeitet, verbraucht seine Energie und bringt Leistung. Anhand eines Beispiels soll überlegt werden, was in der Physik unter diesen eigentlich abstrakten Begriffen zu verstehen ist.
Um eine schwere Last zu bewegen, muss eine Kraft angewendet werden. Soll zum Beispiel ein Baumstamm aus dem Wald gezogen werden, kann ein Pferd oder ein Traktor eingesetzt werden. Beide haben genügend Kraft dazu. Sie ziehen den Stamm mit ihrer eingesetzten Kraft F → entlang des Weges s aus dem Wald. Man sagt, das Pferd oder der Traktor verrichten Arbeit.
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Abbildung 4.3.1: Skizze zur Arbeit (C)


Unter der Arbeit W versteht man das Produkt aus Kraft und Weg:

W=F·s .

Dabei müssen die Kraft und der Weg parallel zueinander sein.
Die Einheit der Arbeit W ist das Joule: [W]=J. Für das Joule gilt 1 J=1  kg· m2 s2 .
Hat das Pferd seine Arbeit erledigt, ist es hungrig und müde. Seine Energie ist verbraucht. Beim Traktor ist der Tank leer. Damit das Pferd wieder Bäume rücken kann, wird es gefüttert. Der Traktor wird aufgetankt. Es wird ihnen Energie in Form von Futter oder Treibstoff zugeführt. Es lässt sich also ein Zusammenhang zwischen Arbeit und Energie herstellen.
Mit Energie kann Arbeit verrichtet oder Wärme erzeugt werden. Ein Körper, der Arbeit verrichtet, verringert seine Energie. Umgekehrt wächst die Energie eines Körpers, wenn an ihm Arbeit verrichtet oder ihm Wärme zugeführt wird.
Die Einheit der Energie E ist [E]=J.
In einem Wettbewerb, wer den Baumstamm schneller aus dem Wald zieht gewinnt der Traktor. Das Pferd ist nicht so stark und braucht deshalb mehr Zeit für die Arbeit. Um die verrichtete Arbeit der beiden vergleichen zu können, wird die Arbeit pro Zeit betrachtet.
Unter der Leistung wird der Quotient aus verrichteter Arbeit W und dazu benötigter Zeit t verstanden:

P= W t  .

Die Einheit der Leistung P ist das Watt: [P]=W. Für das Watt gilt 1 W=1  J s .
Hier steht der kursiv geschriebene Buchstabe W für die Arbeit und der nicht kursive Buchstabe W für die Einheit der Leistung.
Bei Arbeit, Energie und Leistung handelt es sich um skalare Größen.


Beispiel 4.3.1  
Ein 800 kg schweres Kaltblut wird zum Holzrücken eingesetzt. Um einen Stamm mit einer Masse von 200 kg zu ziehen, ist eine Zugkraft von 1200 N nötig. Es müssen 100 m zurückgelegt werden. Die Geschwindigkeit des Pferds während des Rückens beträgt 0,6 m/s.
Wie groß ist die verrichtete Arbeit und die Leistung?
Für die Arbeit gilt:
 
W=F·s ​ =1200 N·100 m ​ =120 000 N m ​ =1,2· 105  J .
 
Die Leistung ergibt sich zu:
 
P= W t = F·s t ​ =F· s t =F·v ​ =1200 N·0,6  m s ​ =720 W .
 
Zu den verschiedenen mechanischen Kräften können die entsprechenden Arbeiten beschrieben werden.
  • Hubarbeit – wird ein Körper im Schwerefeld der Erde um eine Höhe h angehoben, muss Hubarbeit verrichtet werden. Sie hängt von der Masse m des Körpers und der Erdbeschleunigung g ab und es gilt:

    W= F G ·h=m·g·h .



  • Reibungsarbeit – wird ein Körper mit Reibung entlang einer Strecke s über eine Fläche bewegt, wird Reibungsarbeit verrichtet und es gilt mit dem Reibungskoeffizienten μ G :

    W= F R ·s= μ G ·m·g·s .



  • Spannarbeit – wird eine Feder mit der Federkonstanten D um eine Strecke s gespannt, muss Spannarbeit verrichtet werden:

    W= 1 2 ·D· s2  .



  • Beschleunigungsarbeit – wird ein Körper entlang einer Strecke s von null auf eine Geschwindigkeit v beschleunigt ergibt sich für die Beschleunigungsarbeit:

    W= 1 2 ·m· v2  .



Bei der Spann- und der Beschleunigungsarbeit muss bei der Ermittlung der gültigen Gleichung berücksichtigt werden, dass die hier wirkenden Kräfte vom Weg abhängen, F=F(s). Anschaulich kann das mit einem Arbeitsdiagramm verstanden werden.
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Abbildung 4.3.2: Arbeitsdiagramme bei konstanter Kraft (links) und wegabhängiger Kraft (rechts) (C)


In der Abbildung sind die Arbeitsdiagramme bei einer konstanten Kraft und einer nichtkonstanten Kraft gezeigt. Die verrichtete Arbeit entspricht den Flächen unter den Kurven. Im linken Diagramm ist die Kraft F0 konstant. Damit kann die verrichtete Arbeit mit Hilfe des grünen Rechtecks zu W= F0 · s0 bestimmt werden.
Betrachten wir das rechte Diagramm. Die Arbeit entspricht wieder der Fläche unter der Kurve. Da die Kraft aber einer Geraden mit der Steigung D entspricht, lässt sich die Arbeit jetzt mit Hilfe des grünen Dreiecks bestimmen. Für die Fläche eines Dreiecks gilt A= 1 2 · Grundseite  · Höhe. Es ist also W= 1 2 · F0 · s0 ​= 1 2 ·D· s0 · s0 ​= 1 2 ·D· s0 2 .

Aufgabe 4.3.2  
Arbeit ist durch W=F·s definiert. Wie ändert sich die Arbeit W0 , wenn die Kraft F0 verfünffacht und der Weg s0 halbiert wird?

W  =  0,4· W0
W  =  2,5· W0
W  =  10· W0
W  =  0,1· W0
W  =  W0
 


Aufgabe 4.3.3  
Bei einem Wettbewerb schieben zwei Teilnehmer jeweils eine gleich schwere Kiste auf einer Strecke von 100 m. Zum Schieben ist eine Kraft von F=150 N nötig. Teilnehmer 1 benötigt t1 =40 s und Teilnehmer 2 benötigt nur t2 =30 s. Es soll angenommen werden, dass die Kraft immer parallel zum Weg ist.
Wie groß ist die verrichtete Arbeit? Geben Sie das Ergebnis in  J an.

W1  = 


W2  = 


Wie groß ist die Leistung P1 und P2 der beiden Teilnehmer? Geben Sie das Ergebnis in  W an.

P1  = 


P2  = 




Aufgabe 4.3.4  
Ein Student muss zu einer Physikvorlesung in den dritten Stock des Gebäudes. Da der Aufzug kaputt ist, muss er die Treppe mit insgesamt 105 Stufen hochsteigen. Die Stufen haben eine Höhe von 18 cm. Wie groß ist die verrichtete Hubarbeit, wenn der Student eine Masse von 75 kg besitzt?

W  = 




Aufgabe 4.3.5  
Ein Auto mit der Masse m=1400 kg erfährt eine Beschleunigung von 4  m s2 . Wie groß ist die verrichtete Beschleunigungsarbeit, wenn der Beschleunigungsvorgang 25 s gedauert hat?

W  = 


 

Arbeit (!)


Video 1: Definition der Arbeit (C) .



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Abbildung 4.3.4: Geradlinig bewegter Körper  (C)

Bewegt man einen Körper mit Hilfe der Kraft F entlang einer Strecke Δs, so verrichtet man eine Arbeit W (engl. work). Die geleistete Arbeit ist proportional zur angewendeten Kraft und zur zurückgelegten Wegstrecke:

W=ΔW=F·Δs=F·( sB - sA ) .

Die Einheit der Arbeit ist 1 J=1 N m=1  kg  m2 s2 .


Diese Definition der Arbeit gilt nur für Bewegungen mit einer in Betrag und Richtung konstanten Kraft, deren Vektor parallel oder antiparallel zur Bewegungsrichtung zeigt.

Video 2: Beispiel Fahrrad (C) .



Beispiel 4.3.6  
Ein Radfahrer beschleunigt auf einer Strecke von Δs=100 m konstant von einer Geschwindigkeit v0 =0 km/h auf eine Geschwindigkeit v1 =20 km/h (Masse Rad + Fahrer =m=80 kg).

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Abbildung 4.3.5: Radfahrer  (C)



  1. Wie groß ist der Betrag der Kraft, die für diese Beschleunigung nötig ist?

  2. Wie groß ist die Arbeit, die durch die Kraft bei dem Beschleunigungsvorgang verrichtet wird?





Video 3: Aufteilung in kleine Wegstücke (C) .



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Abbildung 4.3.6: Bewegter Körper mit veränderlicher Kraft  (C)

Will man eine nicht konstante Kraft berücksichtigen, muss man die Wegstrecke in kleine Wegstücke aufteilen, auf denen die Kraft jeweils als konstant angenommen werden kann. Auf jedem der kleinen Wegstücke kann dann ein kleiner Beitrag zur Gesamtarbeit berechnet werden. Schließlich summiert man über alle Wegstücke. Im Grenzübergang ergibt sich das Integral:

W= ∫ sA sB F(s) ds .



Video 4: Beispiel Auto (C) .



Beispiel 4.3.7  
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Abbildung 4.3.7: Auto wird mit wegabhängiger Kraft beschleunigt  (C)



Ein Auto der Masse m=1500 kg wird auf der Strecke s B =200 m aus dem Stand mit einer wegabhängigen Kraft des Betrags F(s)= F0 (1- s s B ), F0 =6000 N, beschleunigt. Wie groß ist der Betrag der Arbeit, die während der Beschleunigung durch die Kraft verrichtet wird?



Video 5: Bewegungs- und Kraftrichtung verschieden (C) .



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Abbildung 4.3.8: Bewegter Körper mit schräger Kraft  (C)

Für den Fall, dass die Richtung der Kraft nicht mit der Bewegungsrichtung des Körpers übereinstimmt, der Betrag der Kraft aber konstant ist, ist nur die Komponente der Kraft parallel zur Bewegungsrichtung für die Berechnung der Arbeit relevant. Um dies zu berücksichtigen, bildet man das Skalarprodukt zwischen dem Kraftvektor F → und dem Vektor Δ s → , der die Verschiebung mit Betrag und Richtung beschreibt:

W= F → ·Δ s → =F Δs cos(α) .

Dabei bezeichnen F den Betrag des Vektors F → , Δs die Länge des Verschiebungsvektors Δ s → und α den Winkel zwischen der Kraftrichtung und der Bewegungsrichtung.

Video 6: Beispiel Schlitten (C) .



Beispiel 4.3.8  
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Abbildung 4.3.9: Schlitten wird gezogen  (C)



Ein Schlitten wird eine 100 m lange Straße entlang gezogen. Um die Reibung zu überwinden, muss am Zugseil, das einen Winkel von 30 ∘ zur Straße einnimmt, mit einer Kraft von 120 N gezogen werden.

Bestimmen Sie die hierfür notwendige Arbeit.



Wir sehen uns weitere Beispiele zur Berechnung der Arbeit an:

Video 7: Beispiel Flaschenzug (C) .



Beispiel: „Flaschenzug“ 4.3.9  
Hier wird ein Flaschenzug aus N festen Rollen und N losen Rollen betrachtet. Die Aufgabe besteht nun darin, mit diesem eine Masse m um die Höhe h gegen die Gewichtskraft anzuheben.

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Abbildung 4.3.10: Flaschenzug  (C)



In einem vorigen Abschnitt über „Kraftwandler“ (4.1.7) wurde bereits gezeigt, dass gilt:

F Z = 1 2N   F R  .

Die Bilanz der Arbeit führt dann auf:

W Z = W R  , F Z s Z = F R h ⟹   s Z = F R F Z h=2Nh>h .

Hier findet damit auch das „Goldene Gesetz der Mechanik“ Anwendung: Was man an Kraft spart, muss man an Weg zusetzen.


Video 8: Beispiel Hebelgesetz (C) .



Beispiel: „Hebelgesetz“ 4.3.10  
In einem vorigen Abschnitt über „Kraftwandler“ (4.1.7) wurde das Hebelgesetz bereits formuliert und angewendet.

An einer drehbar gelagerten Stange greifen in den Abständen ℓ1 und ℓ2 vom Drehpunkt tangential die Kräfte F1 und F2 an. Ein Beispiel hierfür wäre eine Traubenpresse, die von zwei Personen bedient wird. Die Angriffspunkte der Kräfte beschreiben Kreisbögen der Bogenlängen s1 und s2 . Wird der Drehwinkel α in Bogenmaß angegeben, so gilt für die Bogenlänge s im Abstand ℓ: s=α·ℓ.

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Abbildung 4.3.11: Hebelgesetz  (C)



Für den Fall, dass auf beiden Seiten die gleiche Arbeit verrichtet wird, gilt

W1 = W2 ⟹   F1 s1 = F2 s2 ⟹   F1 α ℓ1 = F2 α ℓ2 ⟹   F1 ℓ1 = F2 ℓ2  ,

also das bereits bekannte Hebelgesetz.



 

Arbeit bei gekrümmtem Weg (*)


Video 9: Verallgemeinerung (C) .



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Abbildung 4.3.12: Nicht konstante Kraft in verschiedenen Richtungen  (C)

Für den Fall, dass die Richtung der Kraft nicht mit der Bewegungsrichtung des Körpers übereinstimmt und die Kraft während der Bewegung in Betrag und/oder Richtung nicht konstant ist, lässt sich die Arbeit durch das folgende Integral bestimmen:
 
W= ∫ s → A s → B F → ( s → )·d s → ​ = ∫ sA sB F(s) cosα(s) ds .
 
Hier bezeichnet α=α(s) den Winkel zwischen der Kraftrichtung und der Bewegungsrichtung. Dabei kann der Winkel, da die Kraft auch in ihrer Richtung nicht konstant sein muss, von der Wegstrecke s abhängen.

Weitere Erläuterungen zu der letzten Formel finden sich in dem zugehörigen Video.

 

Leistung (!)


Video 10: Definition Leistung (C) .



Die mittlere Leistung ist definiert als Quotient aus der Arbeit ΔW und der Zeit Δt, in der sie verrichtet wird:

P= ΔW Δt  .

Man kann auch die Momentanleistung definieren:

P= dW dt  .



Die Einheit der Leistung ist das Watt:

1 W=1  J s  .



Multipliziert man die Leistung mit einer Zeitdauer, erhält man wieder die Arbeit. Daher kann das Joule auch ausgedrückt werden als

1 J=1 W s .

Insbesondere in der Elektrotechnik hat man daraus eine häufig verwendete Einheit für die Arbeit abgeleitet:
 
1 kWh ​ =1000 W·3600 s ​ =3,6· 106  J .
 


Bitte achten Sie bei diesen Einheiten immer gut darauf, ob es sich um Arbeit oder Leistung handelt. Die Leistung Ihrer elektrischen Geräte ist in kW angegeben. Ihre Stromrechnung erhalten Sie aber für die insgesamt gelieferte Energie, also für die verbrauchten kWh.

Video 11: Beispiel Winde 1 (C) .



Video 12: Beispiel Winde 2 (C) .



Beispiel 4.3.11  
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Abbildung 4.3.13: Last an Seilwinde  (C)



Eine Last der Masse m L hängt an einem Seil (Querschnitt A, Dichte ϱ) in der Tiefe h. Durch Drehen einer Winde wird die Last mit konstanter Geschwindigkeit v angehoben.
  1. Berechnen Sie die durchschnittliche Leistung, die während des Hubvorgangs aufgebracht werden muss.

  2. Berechnen Sie die während des Hubvorgangs maximal nötige Leistung.





 

Wirkungsgrad (+)


Video 13: Wirkungsgrad (C) .



Wird eine Maschine mit chemischer, elektrischer oder mechanischer Energie betrieben, so treten bei der Umwandlung zu der nutzbaren Energie stets Verluste auf.

Der Wirkungsgrad η einer Maschine ist der Quotient aus Nutzen und Aufwand. η besitzt keine Einheit, d.h. ist dimensionslos. Der Wirkungsgrad kann aus der Arbeit (nutzbare Arbeit und insgesamt zugeführte Arbeit) oder der Leistung (genutzte Leistung und Nennleistung) bestimmt werden.

η W = W nutz W zu oder η P = P nutz P nenn  .

Unter bestimmten Voraussetzungen gilt zusätzlich η W = η P .




Wenn im Aufgabentext nicht anders angegeben, geben Sie die Ergebnisse auf ganze Zahlen gerundet an. Bei Angaben in wissenschaftlicher Schreibweise (Exponentialschreibweise) runden Sie auf zwei Nachkommastellen.
Falls nicht anders angegeben, verwenden Sie g=9,81  m s2  .